Теория возмущений

[drzewo]

Рассмотрим гладкую гамильтонову систему с малым возмущением на плоскости $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\}$:

$$ \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial H}{\partial y} \\ -\frac{\partial H}{\partial x} \end{pmatrix}+\varepsilon u(x,y),\quad u=\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix},\quad H=H(x,y).\qquad(*)$$

Предположим, что уровень энергии $\gamma(h^*)=\{H=h^*\}\subset\mathbb{R}^2$ невозмущенной системы ($\varepsilon=0$) представляет собой замкнутую траекторию, $dH\mid_{\gamma(h^*)}\ne 0$; и при достаточно малых $|h-h^*|$ множества $\gamma_h=\{H=h\}$ тоже являются замкнутыми траекториями невозмущенной системы.
Через $D_h$ обозначим область, ограниченную кривой $\gamma(h):\quad \partial D_h=\gamma(h).$
Введем функцию

$$f(h)=\int_{D_h}\mathrm{div}\,u\,dx\wedge dy.$$

Задача: доказать следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Предположим, что $f(h^*)=0,\quad f'(h^*)\ne 0.$
Тогда при малых $|\varepsilon|>0$ система (*) имеет замкнутую траекторию, которая при $\varepsilon\to 0$ переходит в $\gamma(h^*)$.

[drzewo]

Кстати, утверждение принадлежит Понтрягину. Я только слегка упростил доказательство, использовав переменные <<Действие-Угол>> Попробуйте угадать, почему столь тривиальный факт вошел в трехтомник его избранных научных трудов.