Случайные блуждания или разностное уравнение

[Vavilen]

Все привет! Помогите пожалуйста с таким вопросом разобраться: есть такая задача - частица на числовой оси равновероятно ходит влево и вправо (по целым числам), какова вероятность, что находясь в точке k она дойдет до точки n? В точке 0 она останавливается. То есть какова вероятность, что частица попадет в точку n перед тем, как попасть в точку 0? Как я понимаю, к этой задаче можно двумя способами подходить.

Первый способ - это написать разностное уравнение $P_k(n) = \frac{1}{2}P_{k-1}(n) + \frac{1}{2}P_{k+1}(n)$, решить его и получить ответ $P_k(n) = \frac{k}{n}$ (я тут правда не очень понимаю, что значит этот ответ, если $n < k$ например?)

Второй подход - это случайные блуждания, то есть можно сказать, что вероятность того, что из m ходов у нас p ходов вправо это $P = C^p_m \frac{1}{2^p}\frac{1}{2^{m-p}}$, а смещение это $d = m + (-1)(m-p)$. И тогда надо посчитать вероятность, что смещение равно $n - k$ из нашего начального условия, правда не до конца понимаю, как это сделать? Нужно просуммировать по всем возможным m и p получается? И еще как-то пути через 0 надо вычесть получается.

В общем вопрос в том - подходит ли вообще метод случайных блужданий для решения этой задачи (второй способ)? И равносильны ли эти два метода? Или вообще надо только первый использовать? А второй - это, если в задаче явно указано число шагов например или что-то такое?

[ozheredov]

Vavilen в сообщении #1651920 писал(а):

Первый способ - это написать разностное уравнение $P_k(n) = \frac{1}{2}P_{k-1}(n) + \frac{1}{2}P_{k+1}(n)$

Это и есть отправная точка в подходе к случайным блужданиям.

Vavilen в сообщении #1651920 писал(а):

(я тут правда не очень понимаю, что значит этот ответ, если $n < k$ например?)

Тогда, например, задача становится бессмысленной - невозможно прийти в ноль, минуя $n$

[Vavilen]

ozheredov в сообщении #1651936 писал(а):

Тогда, например, задача становится бессмысленной - невозможно прийти в ноль, минуя $n$

не совсем понял, у нас задачи прийти из точки k в точку n - например мы идем из точки 5 в точку 2, тогда вероятность получается $\frac{5}{2}$. Как это трактовать?

[dgwuqtj]

Vavilen в сообщении #1651920 писал(а):

решить его и получить ответ $P_k(n) = \frac{k}{n}$ (я тут правда не очень понимаю, что значит этот ответ, если $n < k$ например?)

Значит, как-то странно решали уравнение. При $n \leq k$ вероятность должна быть 1.

[ozheredov]

Vavilen в сообщении #1651949 писал(а):

например мы идем из точки 5 в точку 2

Тогда 2 достигнется раньше нуля на любой траектории. Де-факто задача формулируется так: по условию, мы ОБЯЗАТЕЛЬНО должны дойти до одной из точек поглощения. Какова (при этом условии) вероятность того, что вкусная точка поглощения будет достигнута раньше, чем невкусная? Например, я открылся в длинную, купив биток по 50000, поставив стоп-лося на 45000, takeProfit на 75000 и намерен терпеть, пока один из отложенных ордеров не сработает. Какова вероятность, что я закроюсь в прибыль, а не в убыток? Или: у меня есть 100 рублей и я играю с Вами в орлянку, если орел то я Вам 1 рупь, если решка наоборот. Какова вероятность, что я удвою капитал раньше, чем разорюсь?

[мат-ламер]

Vavilen в сообщении #1651920 писал(а):

Случайные блуждания или разностное уравнение

Есть такая задача . В некоторых учебниках есть. Например в Ширяеве (пар. 1.9). Но там слишком много букв. Переписывать учебник сюда - такая лень. Может вы сами начнёте что-то делать? Тогда и помогающие подтянутся.

[vicvolf]

Vavilen в сообщении #1651920 писал(а):

Все привет! Помогите пожалуйста с таким вопросом разобраться: есть такая задача - частица на числовой оси равновероятно ходит влево и вправо (по целым числам), какова вероятность, что находясь в точке k она дойдет до точки n? В точке 0 она останавливается. То есть какова вероятность, что частица попадет в точку n перед тем, как попасть в точку 0? Как я понимаю, к этой задаче можно двумя способами подходить.

Это случайное блуждание на прямой с поглощающим экраном в точке 0, погуглите.

[RobinGood]

Vavilen
Ответ можно представить в виде бесконечного ряда степеней двойки