Равнобедренность треугольника по основаниям для биссектрис

[SomePupil]

Докажите, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ тогда и только тогда, когда для оснований его биссектрис $BE$ и $CF$ выполняется соотношение $BF+CE=2EF.$

[nnosipov]

Проще всего здесь все расстояния выразить через стороны $a$, $b$, $c$ треугольника $ABC$, после чего окажется

$$(BF+CE)^2-4EF^2=\frac{a(b-c)^2(a+b+c)(ab+4bc+a^2+ac)}{(a+b)^2(a+c)^2}.$$

[SomePupil]

nnosipov, впечатляет

-- 26.08.2024, 16:20 --

Я ещё подожду, может, кто другой подход предложит. Затем укажу источник.

[nnosipov]

SomePupil
Это все Maple, я только вспомнил про основное свойство биссектрисы, его и хватило для вывода формул для расстояний. А в книжках Прасолова/Шарыгина этой задачи нет случайно? Я утром хотел посмотреть, но потом забыл.

[TOTAL]

Пусть выполняется $BF+CE=2EF.$
Обозначив $\angle ECB=2\alpha, \;\; $\angle FBC=2\beta,$ с помощью теоремы синусов получаем

$$ \frac{FB}{EF} = \frac{\sin(\beta + t)}{\sin(\beta)}, \;\; \frac{EC}{EF} = \frac{\sin(\alpha - t)}{\sin(\alpha),} $$

или

$$ \frac{FB}{2EF} \sin(\beta) + \frac{EC}{2EF}\sin(\alpha)= \frac{1}{2}\sin(\beta + t)+ \frac{1}{2}\sin(\alpha-t)}. $$

Выгнутость синуса вверх делает равенство возможным только при $t=0$, либо $t=\alpha - \beta$.
Откуда $\alpha = \beta$.

[SomePupil]

Отлично.

А задачка из финала олимпиады им. И.Ф. Шарыгина 2024 года для 10 класса. Там она под номером 3 с несколько другой формулировкой.

[nnosipov]

Почему-то так и подумал, что с этой олимпиады.

Глянул задачу 4 для того же класса. Судя по рисунку, сложная. Но по формулировке совершенно типичная задача на вычисления, никакой интриги. То ли дело задача 3 --- здесь просят доказать неравенство, в таком виде я бы за нее и не взялся, просто мимо бы прошел.

[TOTAL]

SomePupil в сообщении #1651880 писал(а):

А задачка из финала олимпиады им. И.Ф. Шарыгина 2024 года для 10 класса. Там она под номером 3 с несколько другой формулировкой.

"С другой стороны, точка $C$ лежит вне окружности $BFE$, значит ..." -- Откуда следует, что вне окружности?

[SomePupil]

TOTAL в сообщении #1651896 писал(а):

Откуда следует, что вне окружности?

Например, потому что в четырехугольнике $BCEF$ сторона $CE$ больше $BF.$ Вы сомневаетесь в утверждении или сочли за неряшливость отсутствие обоснования?

[TOTAL]

SomePupil в сообщении #1651904 писал(а):

TOTAL в сообщении #1651896 писал(а):

Откуда следует, что вне окружности?

Например, потому что в четырехугольнике $BCEF$ сторона $CE$ больше $BF.$ Вы сомневаетесь в утверждении или сочли за неряшливость отсутствие обоснования?

Важное утверждение, из него далее делается вывод. А обоснования нет. И Ваше обоснование мне непонятно.

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #1651896 писал(а):

Откуда следует, что вне окружности?

Возможно, я обсчитался, но в тех примерах, что я рассматривал, все случаи (вне, внутри, на) расположения точки $C$ возможны.

[SomePupil]

nnosipov в предположении $AB<AC$ тоже?

[nnosipov]

А, это я не учитывал. Сейчас проверю.

Нет, с этим условием контрпримера не нашлось.