Применение приближённых формул Пуассона и Лапласа

[TurboBeaver]

Подскажите, пожалуйста, можно ли обойтись без формул Пуассона и Лапласа, заменив их логарифмированием?

Изначально, насколько я понял из учебника, мы имеем точную формулу Бернулли, согласно которой $P_n(k) = C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Если количество опытов велико (более нескольких десятков), то непосредственный подсчёт вероятностей крайне затруднён. Однако если прологарифмировать, то работать с очень уж большими числами не придётся:

$x=\ln{P_n(k)} = \sum\limits_{i=n-k+1}^{n}\ln{i} - \sum\limits_{i=1}^{k}\ln{i} + k\ln{p} + (n-k)\ln(1-p)$

И далее сразу получим $P_n(k) = e^x$. Если нужно найти вероятность того, что значения будут заключены в некотором интервале, то цикл с суммированием вполне удачно работает вместо интегральной формулы Лапласа.

Я проверял в маткаде - формула даёт те же результаты, что и формула Бернулли. И при больших значениях $n$ вполне работает - решает те задачи (я решал по сборнику Гмурмана), которые предлагаются к решению формулами Лапласа и Пуассона.

Есть ли некие подводные камни в использовании такой формулы? Или всё же нужно применять формулы Пуассона и Лапласа?

[Евгений Машеров]

Можно, но не нужно. Это сложный и трудоёмкий способ решить задачу, для которой есть простой и общеизвестный. Кажущийся выигрыш от замены "приближённой" формулы "точной" съедается погрешностью вычислений.

[TurboBeaver]

Евгений Машеров в сообщении #1651395 писал(а):

Можно, но не нужно. Это сложный и трудоёмкий способ решить задачу, для которой есть простой и общеизвестный. Кажущийся выигрыш от замены "приближённой" формулы "точной" съедается погрешностью вычислений.

Спасибо за ответ! Я провёл тесты с помощью маткада - вроде он точность даёт неплохую, но оценить её, конечно, мне трудновато :)

А можно ли оценить точность вычислений по формулам Лапласа и Пуассона? Я видел в литературе только эмпирические сравнительные таблицы, где задачи решались разными способами, а затем шло сравнение результатов и демонстрация погрешностей. Ну, и рекомендации в стиле "если $npq<3$, то применяйте формулу Пуассона". Может, есть точные варианты оценки погрешности?

[Евгений Машеров]

Основной источник "приближённости" - замена факториала на формулу Стирлинга.
$n! =\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}e^{\frac 1 {12n+\theta_n}}$
где $\theta_n$ - зависящая от n поправка, лежащая между нулём и единицей.
При этом при расчёте $C^k_n$ отклонения в значительной степени взаимопогашаются.
В качестве небольшой исследовательской работы можно попробовать посчитать $C^k_n$ при разных n и k, используя точный факториал и его приближение по Стирлингу. И сравнить ошибки.

(Оффтоп)

Некогда (ещё и полувека не прошло;) подрабатывал я студентом в научной теме. И руководителя совершенно не устроил результат расчёта с применением обычных формул ТВ, не согласовывалось с его Видением Мира. Решив, что расхождение - продукт "приближённости", он потребовал считать по точным формулам биномиального распределения, причём логарифмирование его тоже не устроило, оно тоже приближение, в машинное умножение и деление он ещё был готов уверовать..
А при расчёте "в лоб" возникало переполнение для факториалов и "исчезновение порядка" для вероятностей. Поэтому считались все сомножители, записывались в массив, который сортировался по убыванию и затем "жгли свечку с двух сторон", если текущее произведение было больше единицы, умножали на наименьший из оставшихся сомножителей, если больше - на наибольший. Разницы с "приближённым" расчётом, несмотря на драматическое увеличение времени расчёта, не выявилось.