Формула для числа пи

[Pedja]

Может ли кто-то доказать следующую формулу:

$$\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{194}{217} \cdot\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{M}} \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{M} } \frac{p}{p+1}\right)$$

где $\mathbb{M}=\{p | p \in \mathbb{P} \text{ и } 2^p-1 \in \mathbb{P}\}$

[dgwuqtj]

Так ведь неизвестно, конечно ли множество простых чисел Мерсенна. Если конечно, то справа рациональное число. Вы пробовали проверить равенство численно?

[Pedja]

Для первых нечетных 50 экспонентов Мерсенна я получаю число: $0.78539816389787241802714358232817982616 \ldots$

[dgwuqtj]

Так 51 сомножитель уже влияет на 8 знак после запятой, остальное можно было не писать. К тому же как будто примерно с этого места не все числа Мерсенна известны.

[mihaild]

Я удивлюсь, если кто-то может доказать, что произведение в правой части вообще сходится (что оно расходится понятно никто доказать не может, потому что иначе было бы известно что простых чисел Мерсенна бесконечно).

Численный подсчет по известным числам Мерсенна дает $\frac{\pi}{r} - \frac{4 \cdot 194}{217} \approx -2\cdot 10^{-9}$, где $r$ - произведение справа. Просто с трехзначным знаменателем стоило бы ожидать $10^{-6}$, чтобы получить еще три знака надо соответственно штук 30-40 формул. Думаю вполне можно их придумать (можно же еще не $\pi$ брать, а разные другие известные константы).

-- 21.08.2024, 23:55 --

Рядом есть тема «"Почти целые" числа».

Pedja, а как подбирали? Просто крутили разные произведения из чисел Мерсенна или что-то более сложное?

[Pedja]

Отметить, что $217=(2^3-1)(2^5-1)$ и $194$- это термин последовательности Лукаса-Лемера. Таким образом, две части формулы связаны между собой.

[wrest]

Pedja в сообщении #1650982 писал(а):

Для первых нечетных 50 экспонентов

Википедия говорит, что по порядку известны только 48. Т.е. неизвестно являются ли найденные 49, 50, 51 числа таковыми и по порядку (нет ли между ними ещё).

[Pedja]

Не все экспоненты между 57885161 и 82589933 проверяются дважды. https://www.mersenne.org/primes/

[Null]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1650984 писал(а):

Pedja, а как подбирали?

Считаем частное 2 чисел приближенно и раскладываем в цепную дробь.

[mihaild]

(Оффтоп)

Null в сообщении #1650995 писал(а):

Считаем частное 2 чисел приближенно и раскладываем в цепную дробь

Точность приближения на три порядка лучше, чем следовало бы ожидать для такого способа.

[Pedja]

Pari/GP код

[wrest]

Pedja в сообщении #1651063 писал(а):

Pari/GP код

Хорошо что код дали. Код я не проверял.
Вот картинка, по горизонтали - количество чисел Мерсенна (от 1 до 50) для частичного произведения, по вертикали - сколько значащих цифр совпадает с $\pi/4$ (модуль десятичного логарифма модуля разницы левой и правой частей формулы).

Тренд, на глаз, линейный - 0,15 значащей цифры на каждое следующее простое число Мерсенна.
Ну что же, ждём следующие 50 простых чисел Мерсенна, посмотрим на дальнейшую сходимость

[Pedja]

Подозреваю, что мы будем живы до тех пор . Возможно, это просто числовое совпадение, но с другой стороны, может быть, есть какая-то более глубокая логика.

[Pedja]

Давайте представим следующие нотации $L_n^{(1)}(P,Q)$ - число Лукаса первого вида и $L_n^{(2)}(P,Q) $- число Лукаса второго вида. Обратите внимание, что $194=L_4^{(2)}(4,1)$ , $M_3=L_3^{(1)}(3,2)$ и $M_5=L_5^{(1)}(3,2)$. Таким образом мы можем переписать выражение выше следующим образом:

$$\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{L_4^{(2)}(4,1)}{L_3^{(1)}(3,2)L_5^{(1)}(3,2)} \cdot\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{M} } \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{M}} \frac{p}{p+1}\right)$$

где $\mathbb{M}=\{p | p \in \mathbb{P} \text{ и } 2^p-1 \in \mathbb{P} \}$

Я нашел похожую предполагаемую идентичность для репьюниты в основе $3$:

$$\dfrac{2\pi}{27}=\dfrac{L_4^{(2)}(5,1)}{L_3^{(1)}(4,3)L_5^{(1)}(4,3)} \cdot\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{K} } \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 3 \pmod{4} \atop p \in \mathbb{K}} \frac{p}{p+1}\right)$$

где $\mathbb{K}=\{p | p \in \mathbb{P} \text{ и } \dfrac{3^p-1}{2} \in \mathbb{P} \}$

Для первых $22$ экспонентов репьюниты 3-х базовых чисел я получаю стоимость: $0.2325363070638513573344 \ldots $ в то время как реальная стоимость $ \dfrac{2 \pi}{27}$ составляет $ 0.2327105669325772769232 \ldots $. Ясно: $ \dfrac{ \pi}{4}= \dfrac{2 \pi}{2^3}$ и $ \dfrac{2 \pi}{27}= \dfrac{2 \pi}{3^3} $.

[Pedja]

CoCalc