С.в. и их распределения на примере студента перед экзаменом

[seraphimt]

Здравствуйте. Продолжаю разбираться с листочками по теорверу, тема про с.в. их распределения. Лекций посмотрел вроде достаточно, в основном всё понял, но как применять к задачам - прям ступор.
Задача такая: студент готовится таким образом: в начале часа кидает монетку, на орле выбирается случайное число из отрезка $[0,1]$ и такую часть часа готовится, а остальное отдыхает. На решку просто полчаса учиться, полчаса отдыхает. С.в. кси - время потраченное на подготовку. Найти нужно функцию распределения и её график.
Попытался прям по полочкам разложить, пока вышло так:
Пространство исходов $\Omega = \Omega_1 \times\Omega_2 = \{O, P\} \times [0,1] $
Сигма алгебра $\mathcal{A}= 2^{\{O,P\}}\otimes \mathcal{B}([0,1])$
Мера $P = P_{O,P}\otimes\lambda[0,1]$.
Для первого часа что-то такое получилось для распределения, но как это обобщить на все часы не особо понимаю.
$F_{\xi}(t) =P(\omega: \xi(\omega) \leqslant t)= \begin{cases} \frac{t}{2}, t<\frac{1}{2} \\ \frac{t}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\leqslant t \leqslant 1 \end{cases}$

[ozheredov]

seraphimt в сообщении #1650907 писал(а):

С.в. кси - время потраченное на подготовку.

И при этом не сказано, сколько (утилизируемых) часов осталось до экзамена? То есть сколько раз студент будет

seraphimt в сообщении #1650907 писал(а):

в начале часа кида(ть) монетку

[mihaild]

Для первого часа - как-то странно, что у Вас $P(\xi \leq 1) = \frac{3}{4}$. С вероятностью 25% монетка остается в воздухе?

Для остальных - если количество часов неизвестно, то никак, видимо предполагался вопрос про один час. Если известно - то в лекциях должна быть формула распределения суммы случайных величин.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1650907 писал(а):

Для первого часа что-то такое получилось для распределения ...
$F_{\xi}(t) =P(\omega: \xi(\omega) \leqslant t)= \begin{cases} \frac{t}{2}, t<\frac{1}{2}
\\
\frac{t}{2} + \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\leqslant t \leqslant 1
\end{cases}$

По аккуратнее тут надо бы. Да, функция распределения кусочно линейная со скачком в $t=1/2$ . Но, она должна быть симметричная относительно этого момента. Если количество часов на подготовку не задано, то решите задачу хотя бы для двух часов для начала.

[seraphimt]

Спасибо всем за советы.
В функции распределения для одного часа действительно ошибся.
Т.к. мы меряем меру декартово произведения и по определению меры, построенной на таком, получается, что $P((x, B)) = P_{O, P}(x) * \lambda(B) = \frac{1}{2}\lambda(B)$ , где $B$ - борелевское на $[0,1]$.
Отсюда $P(O, B) = \frac{1}{2}\lambda(B); \ P(P, B) = \frac{1}{2}$
По формуле полной вероятности $P(B) = P(O\cap B) + P(P\cap B)$
Отсюда вытекает функция распределения:

$$F_{\xi}(t) =P(\omega: \xi(\omega) \leqslant t)= \begin{cases} \frac{t}{2}, t<\frac{1}{2} \\ \frac{t}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\leqslant t \leqslant 1 \end{cases}$$

График:

(Оффтоп)

Теперь для двух часов. Пересмотрел лекцию дважды и насколько я понял, тут нужно использовать совместное распределение двух с.в.. И если они независимы(а они должны быть независимы), то $P_{\xi \eta} = P_{\xi} \otimes P(\eta)}$ и отсюда уже можно будет посчитать их функцию распределения. А для случая с бесконечной подготовкой будет уже совместное распределение счётного количества независимых с.в..
Значит нужно 1) доказать их независимость. 2) собственно посчитать
Пока всё верно?

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1651103 писал(а):

Пока всё верно?

Ответ и график по первой задаче верный. Формулы, по которым вы его находили, я особо не понял. (У вас интересные обозначения - чем, например, отличается $P(B)$ от $P(B,B)$ ? И каков вообще смысл этих обозначений?)

В принципе у нас есть две случайных величины. Одна дискретная и одна непрерывная. В нашем случае нужная нам функция распределения есть полусумма распределений двух исходных. Обосновать наверно можно формулой полной вероятности (имея в виду обобщение её и на непрерывные распределения).

seraphimt в сообщении #1651103 писал(а):

Значит нужно 1) доказать их независимость.

Как для меня, так вроде это очевидно. И что тут нужно писать, я не знаю.

seraphimt в сообщении #1651103 писал(а):

Пересмотрел лекцию дважды и насколько я понял, тут нужно использовать совместное распределение двух с.в..

Оно то да. Но нам нужно найти распределение суммы двух случайных величин. Если сумеете догадаться, как это сделать, хорошо. Если нет, смотрите лекции или учебник. Если не найдёте, пишите, поможем найти.

[мат-ламер]

seraphimt в сообщении #1651103 писал(а):

А для случая с бесконечной подготовкой будет уже совместное распределение счётного количества независимых с.в..

Не надо тут рассуждать в терминах актуальной бесконечности. Лучше думать о предельной плотности распределения. Посмотрите лекции. Может у вас была какая теорема на счёт этого?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1651169 писал(а):

Но нам нужно найти распределение суммы двух случайных величин. Если сумеете догадаться, как это сделать, хорошо. Если нет, смотрите лекции или учебник. Если не найдёте, пишите, поможем найти.

На всякий случай (если не нашли) см. Ширяев (я понял, вы его читаете) пар. 2.8.4.