Прецессия Томаса

[Enceladoglu]

Происходит три последовательных преобразования системы отсчета
1) Переход от системы $S$ к системе $S'$, двигающейся относительно $S$ со скоростью $\vec{V}$, параллельной оси $x$
2) Переход от системы $S'$ к системе $S''$, двигающейся относительно $S'$ со скоростью $\vec{v}$ относительно оси $y$
3) Переход от системы $S''$ к системе $S'''$, двигающейся относительно $S''$ со скоростью, равной релятивистской сумме скоростей $-\vec{V}$ и $-\vec{v}$
Доказать, что система $S'''$ как и следует ожидать, неподвижна относительно $S$, и $t''' = t$, однако $S'''$ повернута относительно $S$ на некоторый угол в плоскости $xy$(томассовская прецессия). Вычислить угол томассовской прецесии
К задаче дано указание, что нужно использовать формулы для преобразования Лоренца в произвольном направлении, и формулу сложения скоростей в произвольных направлениях (из предыдущих задач), и написать эти формулы в проекциях на координатные оси
Выглядят эти формулы так:
$\mathbf{r} = \gamma_{u}(\mathbf{r'} + \mathbf{u}t') + (\gamma_u - 1) \frac{(\mathbf{r'}\times\mathbf{u})\times\mathbf{u}}{u^2}$
$t = \gamma_{u}(t' + \frac{\mathbf{r'} \cdot \mathbf{u}}{c^2}) $
$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v} + \mathbf{V} + (\gamma -1 )\frac{\mathbf{V}}{V^2}((\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}) + V^2)}{\gamma(1+\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2})}$
Где:
$\gamma = \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}$
$\gamma_u = \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}$
Собственно, как пытался решить я: Вначале я с помощью обычных формул преобразования Лоренца сделал два перехода, от $S$ к $S'$, а потом от $S'$ к $S''$ и получил формулы, связывающие $x'',y'',t''$ с $ x,y,t$. Далее, я написал выше написанные формулы в проекциях на координатные оси, и таким образом связал $x'',y'',t''$ с $ x''',y''',t'''$ (чего мне это стоило однако, особенно написать двойное векторное произведение, несмотря на то что формула для сложения скоростей упрощается ввиду того что $\mathbf{V} \perp \mathbf{v}$). Далее, по идее, я должен был из этого всего дела, подстановкой одной зависимости $x'',y'',t''$ в другую, получить зависимость для $ x''',y''',t'''$ от $ x,y,t$ (либо наоборот что не суть важно). Однако, выражения получаются столь громоздкими, что получить что-то адекватное не удается. Возможно, задачу можно решить проще чем это делаю я ?

(Оффтоп)

Кажется, про этот эффект мне уже говорил Cos(x-pi/2) в ответе на один из моих предыдущих вопросов

[lazarius]

Было бы небезинтересно узнать источник этого.

В книжке, по которой я заканчиваю (надеюсь) изучение предмета вроде как аналогичный вопрос рассматривается несколько с другого ракурса (без громоздких вычислений) и получается некий угол.

На сайте OX на страничке автора можно найти notes:

https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/ ... /rel_A.pdf

Смотри подпараграф 5.7.1 Two boosts at right angles, формула 5.44:

$ \displaystyle \tg \Delta\theta = \frac{uv(\gamma_u\gamma_v - 1)}{u^2\gamma_u + v^2\gamma_v}$

Формула для того что обычно назывется прецессией Томаса чуть дальше 5.49:

$ \displaystyle \mathbf{\omega_T} = \frac{\mathbf{a} \wedge \mathbf{v}}{c^2} \frac{\gamma^2}{1 + \gamma} $,

где клином он обозначает векторное произведение. :(

В самом начале этого параграфа (5.7) он симпатично получает прецессию за один оборот кругового движения, формула 5.40:

$ \displaystyle \Delta\theta = (\gamma - 1)2\pi $

В книжке глава 15 посвящена angular momentum (у нас момент импульса), там тоже есть параграф 15.2.3 Thomas precession revisited. Очень интересная глава, особенно 15.2.2 Pauli-Lubansky vector. Это предпоследняя глава, я как раз закончил ее изучать, задачки решаю. Но на сайте в notes ее нет.

[Enceladoglu]

lazarius
Это сборник задач по электродинамике, Батыгин Топтыгин, номер 558 по старым изданиям, 3.16 по новым ( там она со звездочкой!)
Постараюсь вчитаться в те "notes", кажется там действительно проще.

-- 17.08.2024, 15:14 --

Постараюсь детальней выложить свои выкладки
Я буду пользоваться обратными преобразованиями Лоренца
От $S''$ к $S'$
$x' = x'', y' = \gamma_v(y' + vt''), z' = z'', t' = \gamma_v(t'' + \frac{vy''}{c^2})$
От $S'$ к $S$
$x = \gamma(x' + Vt') = \gamma(x'' + V\gamma_v t'' + V \gamma_v \frac{vy''}{c^2})$
$y = y' = \gamma_v(y' + vt'') $
$ z = z' = z'' $
$ t = \gamma(t' + \frac{V x'} {c^2}) = \gamma(\gamma_v(t'' + \frac{vy''}{c^2}) + \frac{Vx''} {c^2}) = \gamma(\gamma_v t'' + \gamma_v \frac{vy''}{c^2} + \frac{Vx''} {c^2}) $
Формула сложения скоростей $-\mathbf{V}$ и $-\mathbf{v}$
$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{-v} + \mathbf{-V} + (\gamma -1 )\frac{\mathbf{-V}}{V^2}((\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}) + V^2)}{\gamma(1+\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2})}$ $= -\frac{\mathbf{v} + \mathbf{V} + (\gamma -1 )\frac{\mathbf{V}}{V^2}((\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}) + V^2)}{\gamma(1+\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{V}}{c^2})} $ $ = -\frac{\mathbf{v} + \mathbf{V} + (\gamma -1 )\frac{\mathbf{V}}{V^2}(V^2)}{\gamma} $ $= -\frac{\mathbf{v} + \mathbf{V} + (\gamma -1 )\mathbf{V}}{\gamma}$ $ = - \frac{\mathbf{v} + \gamma \mathbf{V}}{\gamma} = - (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V})$


Заметим что $ u^2 = (\gamma^{-1} \mathbf{v} + \mathbf{V})^2 = \gamma^{-2}v^2 + V^2$

Преобразование времени при переходе от $S'''$ к $S''$
$t'' = \gamma_{u}(t''' + \frac{\mathbf{r'''} \cdot \mathbf{u}}{c^2}) = \gamma_{u}(t''' - \frac{\gamma^{-1} y''' v}{c^2} - \frac{ x''' V}{c^2}) $
Теперь преобразование координат...
$\mathbf{r''} = \gamma_{u}(\mathbf{r'''} + \mathbf{u}t''') + (\gamma_u - 1) \frac{(\mathbf{r'''}\times\mathbf{u})\times\mathbf{u}}{u^2} = $ $\gamma_{u}(\mathbf{r'''} - \gamma^{-1}\mathbf{v}t''' - \mathbf{V}t''') + (\gamma_u - 1) \frac{(\mathbf{r'''}\times\mathbf{u})\times\mathbf{u}}{u^2}$
$(\mathbf{r'''}\times\mathbf{u})\times\mathbf{u} = (\mathbf{r'''}\times (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V}) )\times(\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V}) $ $ = - (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V})\times (\mathbf{r'''}\times (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V}) )$ $ = -\mathbf{r'''} (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V})^2 + (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V}) ((\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V}) \cdot \mathbf{r'''}) $ $ = -\mathbf{r'''} (\gamma^{-2}v^2 + V^2) + (\gamma^{-1}\mathbf{v} + \mathbf{V})(\gamma^{-1} vy''' + Vx''') $
В проекциях на координаты
$x'' = \gamma_u x''' - \gamma_u V t''' + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-x'''(\gamma^{-2}v^2 + V^2) + V(\gamma^{-1}vy''' + Vx''')) = $ $ \gamma_u x''' - \gamma_u V t''' + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-x'''\gamma^{-2}v^2 + V\gamma^{-1}vy''' ) $
$y'' = \gamma_u(y''' - \gamma^{-1}vt''') + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-y'''(\gamma^{-2}v^2 + V^2) +\gamma^{-1}v(\gamma^{-1}vy''' + Vx''')) $ $ = \gamma_u(y''' - \gamma^{-1}vt''') + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-y''' V^2 +\gamma^{-1}vVx''')$
$z'' = \gamma_u z''' + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-z'''(\gamma^{-2}v^2 + V^2)) = \gamma_u z''' - (\gamma_u - 1)z''' = z''' $
Ура, координата $z $ не меняется, $z''' = z$
Теперь подставим эти формулы в выражения для $x,y,t$
$t = \gamma(\gamma_v t'' + \gamma_v \frac{vy''}{c^2} + \frac{Vx''} {c^2}) $ $ = \gamma \gamma_v \gamma_{u}(t''' - \frac{\gamma^{-1} y''' v}{c^2} - \frac{ x''' V}{c^2}) $ $ + \gamma \gamma_v \frac{v}{c^2} (\gamma_u(y''' - \gamma^{-1}vt''') + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-y''' V^2 +\gamma^{-1}vVx'''))$ $ + \gamma \frac{V}{c^2} (\gamma_u x''' - \gamma_u V t''' + \frac{1}{u^2}(\gamma_u - 1)(-x'''\gamma^{-2}v^2 + V\gamma^{-1}vy''' ))$
Видно, что для того что-бы $t''' = t$, нужно что бы в правой части равенства все сомножители при $t''' $ были в сумме равны единице
Т.е. $\gamma \gamma_u \gamma_v - \gamma_v \gamma_u \frac{v^2}{c^2} - \gamma \gamma_u \frac{V^2}{c^2} = 1$
У меня есть сомнения что это равенство будет выполняться...

[12d3]

Когда я в бытность студентом решал эту задачу, жизнь сильно упростилась от осознания, что требуется всего лишь перемножить три матрицы.

[Enceladoglu]

12d3
Вот я тоже думал об этом, но зачем мне тогда говорят про то что бы я расписал векторные формулы в проекциях на координаты ?
UPD: Возможно, что бы найти вид для третьей матрицы ?

[Утундрий]

Enceladoglu в сообщении #1650582 писал(а):

зачем мне тогда говорят про то что бы я расписал векторные формулы в проекциях на координаты ?

Эх, рядовой Иванов! Мне же не нужно, чтобы плац был подметен. Мне нужно, чтобы... (завершение анекдота нагуглите, пожалуйста, сами)

[Enceladoglu]

Утундрий
Цель авторов в этом случае выполнена)
12d3
Я так полагаю, Вы имели ввиду нечто похожее на это:
$\mathbf{r''} = \gamma_{u}(\mathbf{r'''} + \mathbf{u}t''') + (\gamma_u - 1) \frac{(\mathbf{r'''}\times\mathbf{u})\times\mathbf{u}}{u^2} = $ $\gamma_{u}(\mathbf{r'''} + \mathbf{u}t''') + (\gamma_u - 1) \frac{ -\mathbf{r'''}u^2 + \mathbf{u}(\mathbf{r'''} \cdot \mathbf{u}) }{u^2}$ $ = \gamma_u \mathbf{r'''} + \gamma_u \mathbf{u} t''' - (\gamma_u - 1)\mathbf{r'''} + (\gamma_u - 1) \frac{1}{u^2} \mathbf{u} (\mathbf{r'''} \cdot \mathbf{u})$ $ = \mathbf{r'''} + \gamma_u \mathbf{u} t''' + (\gamma_u - 1)\frac{1}{u^2}\mathbf{u}(\mathbf{r'''} \cdot \mathbf{u}) $
Привели векторную формулу к более удобному виду. В проекции для икса:
$x'' = x''' + \gamma_u u_x t''' + (\gamma_u - 1) u_x \frac{u_x x''' + u_y y''' + u_z z'''}{u^2}$ $ = \gamma_u u_x t''' + x''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2}x''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} y''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_z}{u^2} z''' $
Итак, получаем несколько формул
$x''' = \gamma_u u_x t''' + (1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2})x''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} y''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_z}{u^2} z''' $
$y''' = \gamma_u u_y t''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} x''' + (1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2})y''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_y u_z}{u^2} z''' $
$z''' = \gamma_u u_z t''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_z}{u^2} x''' + (\gamma_u - 1) \frac{u_z u_y}{u^2} y''' + (1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_z^2}{u^2})z''' $
И еще для времени
$t'' = \gamma_{u}(t''' + \frac{\mathbf{r'''} \cdot \mathbf{u}}{c^2}) = \gamma_u t''' + \gamma_u \frac{x''' u_x}{c^2} + \gamma_u \frac{y''' u_u}{c^2} + \gamma_u \frac{z''' u_z}{c^2} $
Запишем в матричной виде

$$\begin{bmatrix} \gamma_u & \gamma_u \frac{u_x}{c} &\gamma_u \frac{u_y}{c} & \gamma_u \frac{u_z}{c}\\ \gamma_u \frac{u_x}{c} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_z}{u^2} \\ \gamma_u \frac{u_y}{c} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_y^2}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_y u_z}{u^2} \\ \gamma_u \frac{u_z}{c} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_z}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_y u_z}{u^2} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_z^2}{u^2} \end{bmatrix}$$

У нас $ \mathbf{u} = - \gamma^{-1} \mathbf{v} - \mathbf{V}$
Т.е. $u_x = -V, u_y = -\gamma^{-1} v, u_z = 0$
Тогда я могу написать

$$\begin{bmatrix} \gamma_u & \gamma_u \frac{u_x}{c} &\gamma_u \frac{u_y}{c} & 0\\ \gamma_u \frac{u_x}{c} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 0 \\ \gamma_u \frac{u_y}{c} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_y^2}{u^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$$

Теперь запишем матрицы других преобразований
От $S'$ к $S$

$$\begin{bmatrix} \gamma & \gamma \frac{V}{c} & 0 & 0 \\ \gamma \frac{V}{c} & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0& 1 \end{bmatrix}$$

От $S''$ к $S'$

$$\begin{bmatrix} \gamma_v & 0 & \gamma_v \frac{v}{c} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \gamma_v \frac{v}{c} & 0 & \gamma_v & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

УмножАем...

$\begin{bmatrix} \gamma & \gamma \frac{V}{c} & 0 & 0 \\ \gamma \frac{V}{c} & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \gamma_v & 0 & \gamma_v \frac{v}{c} & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \gamma_v \frac{v}{c} & 0 & \gamma_v & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \gamma_u & \gamma_u \frac{u_x}{c} &\gamma_u \frac{u_y}{c} & 0\\ \gamma_u \frac{u_x}{c} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 0 \\ \gamma_u \frac{u_y}{c} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_y^2}{u^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} $ $ = \begin{bmatrix} \gamma \gamma_v & \gamma \frac{V}{c} & \gamma \gamma_v \frac{v}{c} & 0 \\ \gamma \gamma_v \frac{V}{c} & \gamma & \gamma \gamma_v \frac{Vv}{c^2} & 0\\ \gamma_v \frac{v}{c}& 0 & \gamma_v & 0\\ 0 &0 & 0& 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \gamma_u & \gamma_u \frac{u_x}{c} &\gamma_u \frac{u_y}{c} & 0\\ \gamma_u \frac{u_x}{c} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_x^2}{u^2} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 0 \\ \gamma_u \frac{u_y}{c} & (\gamma_u - 1) \frac{u_x u_y}{u^2} & 1 + (\gamma_u - 1) \frac{u_y^2}{u^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$
И опять должно быть что $\gamma \gamma_v \gamma_u - \gamma \gamma_u \frac{V^2}{c^2} - \gamma_v \gamma_u \frac{v^2}{c^2} = 1$

[Mihr]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1650584 писал(а):

завершение анекдота нагуглите

Это не совсем анекдот. Или не только анекдот. Лично знал (во время срочной службы) старшего прапорщика, который вёл ровно такой диалог с солдатом (год примерно 1986). Не знаю, может, такой анекдот тогда уже существовал, и "прапор" взял его на вооружение, как руководство к действию. А может, просто эту небольшую историю пересказывали дома и в компаниях солдаты, вернувшиеся со службы, и она со временем обрела популярность и стала считаться анекдотом.

[lazarius]

Я не совсем понимаю чем не подходит решение Andrew Steane, но кажется я вижу проблему в этих выкладках.

Выражение 'релятивистская сумма скоростей' не совсем корректно. Видно что сумма несимметрична относительно слагаемых. Третий переход необходимо рассматривать в double-primed системе. В ней со скоростью $-\mathbf{v}$ вдоль $y$ движется primed, в которой unprimed движется вдоль $x$ со скоростью $-\mathbf{V}$. То есть сумма здесь $- (\mathbf{v} + \mathbf{V}/\gamma_v)$.

Матрица для boost в произвольном направлении получена правильная - смотри 5.36 на стр. 122. Должно пригодиться соотношение между тремя гаммами - смотри 3.13 на стр. 31:

$\displaystyle \gamma(w) = \gamma(u)\gamma(v)(1 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}/c^2)$,

где $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ в рассматриваемом случае ортогональны.

Ссылка на lecture notes в моем первом сообщении.

[Enceladoglu]

lazarius в сообщении #1651149 писал(а):

Выражение 'релятивистская сумма скоростей' не совсем корректно. Видно что сумма несимметрична относительно слагаемых. Третий переход необходимо рассматривать в double-primed системе. В ней со скоростью $-\mathbf{v}$ вдоль $y$ движется primed, в которой unprimed движется вдоль $x$ со скоростью $-\mathbf{V}$. То есть сумма здесь $- (\mathbf{v} + \mathbf{V}/\gamma_v)$.

Конечно ! Большое спасибо.

lazarius в сообщении #1651149 писал(а):

Я не совсем понимаю чем не подходит решение Andrew Steane, но кажется я вижу проблему в этих выкладках.

Просто хотел разобраться в чем я накосячил, благодаря Вам понял)
Вывод в notes, возможно не очень строгий, но нагляднй и очень показательнй

После долгих вычислений ответ совпал с задачником и вышел
$ \varphi = -\arccos {\frac{V^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } + v^2 \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{v^2 + V^2 - \frac{v^2V^2}{c^2}}} $
Правда, почему-то авторы говорят что при $v \to c, V \to c$ угол $\varphi \approx \frac{\pi}{2} $, хотя по идее $\varphi \approx -\frac{\pi}{2} $
Вероятно авторы действительно подразумевали громоздкие вычисления. Там есть чуть дальше и задача, именно на прецессию Томаса (это не совсем то, скорее поворот Томаса). Где требуется строго вывести формулы для зависимости радиус-вектора и времени ускоряющегося тела в одной сопутвствующей системе отсчета от другой, и тоже дано указание. Весьма громоздко, и пока не получилось . В тех notes есть параграф про это, но вывод конкретно формул для радиус-вектора и времени там нет. Возможно у меня опять не верна где-то начальная формула, попробую еще самостоятельно и если что буду плодить очередную тему)