Неотрицательно определенная матрица

[ihq.pl]

Задача из задачника Ширяева: Доказать, что функция $r(s,t):=\min(s,t)$ является неотрицательно определенной на $\mathbb{R}_+^2.$

По определению, функция $r=r(s,t)$ неотрицательно определена на $\mathbb{R}_+^2$, если для любого "вектора" $c=(c_t), t\in\mathbb{R}_+,$ у которого лишь конечное число координат отличны от нуля,

$$(rc,c)\geqslant 0.$$

Другими словами, для любого $n\in\mathbb{N}$ и любых $t_1<t_2<...<t_n$, где $t_j\in\mathbb{R}_+$, симметричная матрица

$$\left(\begin{matrix} t_1 & t_1 & ... & t_1 \\ t_1 & t_2 & ... & t_2 \\...\\ t_1 & t_2 &... & t_{n} \end{matrix}\right)$$

должна быть неотрицательно определенной. Это можно доказать по индукции с помощью критерия Сильвестра, но в задачнике доказывается так: имеет место представление

$$\min(s,t) = \int\limits_{\mathbb{R}_+} \textbf{1}(x\leqslant t)\textbf{1}(x\leqslant s) dx,$$

из которого легко вывести, что эта функция неотрицательно определена.

Не понимаю как можно использовать это представление.

[dgwuqtj]

Из этого представления следует, что ваша симметричная матрица - это матрица Грама функций $\boldsymbol 1(x \leq t_i)$. А матрица Грама векторов в гильбертовом пространстве неотрицательно определена. Кстати, среди $t_i$ могут быть равные, так что доказательство по индукции несколько усложняется.

[ihq.pl]

dgwuqtj, спасибо! С помощью критерия Сильвестра немного сложнее. А почему док-во несколько усложняется, если среди $t_i$ не все различны? Потому что сам критерий Сильвестра тогда чуть сложнее?

[dgwuqtj]

Ну да, там не только угловые миноры, вот и всё.