Система с инвариантной мерой

[drzewo]

Рассмотрим систему ОДУ с гладкой правой частью

$$\dot x=v(x),\quad x=(x^1,\ldots,x^m)^T\in\mathbb{R}^m,\quad v=(v^1,\ldots,v^m)^T.\qquad(*)$$

Предположим, что эта система имеет инвариантную меру с гладкой плотностью $\rho(x)>0:$

$$\mathrm{div}\,(\rho v)=0.$$

Доказать, что если $x(t)$ -- ограниченное решение системы (*): $\sup_{t\ge 0}|x(t)|<\infty$ то

$$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\mathrm{div}\,v(x(s))ds=0.$$

[Padawan]

Из $\operatorname{div}(\rho v) =0$ получаем, что производная

$$ \frac{d}{dt}\rho(x(t)) = \nabla\rho(x(t)) \cdot v(x(t))=-\rho(x(t)) \operatorname{div}v(x(t)) $$

Значит, $\operatorname{div}v(x(t)) =-\frac{1}{\rho(x(t)) }\frac{d}{dt}\rho(x(t))=-\frac{d}{dt}\ln\rho(x(t))$, и тот интеграл равен
$I(t) =-\ln \rho(x(t)) +\ln\rho(x(0)) $,
а значит, он ограничен. Так как в той области, где находится $x(t)$ выполнено $0<c\leqslant\rho(x) \leqslant C<+\infty$

[drzewo]

Да, все так. Это симпатичное наблюдение принадлежит В. Козлову и имеет содержательные приложения несмотря на простоту.