2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система с инвариантной мерой
Сообщение11.08.2024, 13:26 


21/12/16
689
Рассмотрим систему ОДУ с гладкой правой частью
$$\dot x=v(x),\quad x=(x^1,\ldots,x^m)^T\in\mathbb{R}^m,\quad v=(v^1,\ldots,v^m)^T.\qquad(*)$$
Предположим, что эта система имеет инвариантную меру с гладкой плотностью $\rho(x)>0:$
$$\mathrm{div}\,(\rho v)=0.$$
Доказать, что если $x(t)$ -- ограниченное решение системы (*): $\sup_{t\ge 0}|x(t)|<\infty$ то
$$\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\mathrm{div}\,v(x(s))ds=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система с инвариантной мерой
Сообщение11.08.2024, 21:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4579
Из $\operatorname{div}(\rho v) =0$ получаем, что производная
$$
\frac{d}{dt}\rho(x(t)) = \nabla\rho(x(t)) \cdot v(x(t))=-\rho(x(t)) \operatorname{div}v(x(t)) 
$$
Значит, $\operatorname{div}v(x(t)) =-\frac{1}{\rho(x(t)) }\frac{d}{dt}\rho(x(t))=-\frac{d}{dt}\ln\rho(x(t))$, и тот интеграл равен
$I(t) =-\ln \rho(x(t)) +\ln\rho(x(0)) $,
а значит, он ограничен. Так как в той области, где находится $x(t)$ выполнено $0<c\leqslant\rho(x) \leqslant C<+\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система с инвариантной мерой
Сообщение11.08.2024, 21:57 


21/12/16
689
Да, все так. Это симпатичное наблюдение принадлежит В. Козлову и имеет содержательные приложения несмотря на простоту.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group