2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 18:29 


02/01/19
10
Можно ли считать условия и формулы верными? 1) Длина дуги кривой в декартовых координатах, когда функция $ f(x) $ задана явно

$ L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[a, b]$.

2) Длина дуги кривой в декартовых координатах, когда функция задана параметрически

$ L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt $

Условия:
- Параметрические функции $ x(t) $ и $ y(t) $ непрерывны и дифференцируемы на интервале $[t_1, t_2]$.

3) Длина дуги кривой в полярной системе координат, ограниченная двумя кривыми

Формула:
$ L = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \, d\theta $

Условия:
- Полярная функция $ r = f(\theta) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[\theta_1, \theta_2]$.

4) Объем тела вращения вокруг оси $ Ox $

Формула:
$ V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна на интервале $[a, b]$.

5) Объем тела вращения вокруг оси $ Oy $

Формула:
$ V = \pi \displaystyle\int_{c}^{d} \left[ g(y) \right]^2 \, dy $

Условия:
- Функция $ x = g(y) $ непрерывна на интервале $[c, d]$.

6) Площадь поверхности тела вращения вокруг оси $ Ox $

Формула:
$ S = 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx $

Условия:
- Функция $ y = f(x) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[a, b]$.

7) Площадь поверхности тела вращения вокруг оси $ Oy $

Формула:
$ S = 2\pi \displaystyle\int_{c}^{d} x(y) \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy $

Условия:
- Функция $ x = g(y) $ непрерывна и дифференцируема на интервале $[c, d]$.

-- 08.08.2024, 19:31 --

Вроде бы есть какие-то шансы использовать не обратные функции в пунктах 5 и 7, если не ошибаюсь. Если да, то как именно должны выглядеть условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 18:42 


21/12/16
771
integ в сообщении #1648895 писал(а):
Можно ли считать условия и формулы верными?

в смысле перепроверить правильно ли вы переписали справочник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 19:14 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Почему обязательно переписал, мог и самостоятельно получить эти формулы. Для школьника, например, вполне разумное упражнение. Другое дело, что сейчас есть куча возможностей быстро проверить результат самостоятельно. Та же википедия, к примеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Как фактчекер рукопедия не годится, там масса ошибок/опечаток. Максимум для чего её можно использовать — для быстрого и грубого ознакомления с новой темой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 20:25 


21/12/16
771
ну пусть тогда читает это https://vk.com/wall-114918963_390?ysclid=lzljrxot3060403239

-- 08.08.2024, 21:26 --

или это https://vk.com/wall-94378522_20172?ysclid=lzljv3d1b3965863445

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 20:55 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
В пункте 2 просится условие, что $(x')^2 + (y')^2 \neq 0$, а в пункте 3 - что кривая не проходит через начало координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 21:14 


21/12/16
771
dgwuqtj в сообщении #1648904 писал(а):
В пункте 2 просится условие, что $(x')^2 + (y')^2 \neq 0$, а в пункте 3 - что кривая не проходит через начало координат.

Оба условия -- лишние. Формулы верны и без них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 21:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Там возникает вопрос, что такое кривая (и её длина), если это не топологическая кривая, а что-то дикое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 21:32 


21/12/16
771
dgwuqtj в сообщении #1648907 писал(а):
Там возникает вопрос, что такое кривая (и её длина), если это не топологическая кривая, а что-то дикое.

Согласен, если уже идти на принцип, то нужно все аккуратно расписывать:) . Назовем кривой образ интервала при отображении класса $C^1((0,1),\mathbb{R}^2)$, а диной ее дуги назовем интеграл
$$\int_{a}^b\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt,\quad (a,b)\subset(0,1)$$
Пойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 21:40 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
drzewo в сообщении #1648908 писал(а):
Назовем кривой образ интервала при отображении класса $C^1((0,1),\mathbb{R}^2)$

Пойдёт. Мне не очень нравится, что длина зависит от параметризации, ну да ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приложения определенного интеграла.
Сообщение08.08.2024, 21:43 


21/12/16
771
dgwuqtj в сообщении #1648909 писал(а):
Мне не очень нравится, что длина зависит от параметризации

да, это не годится, придется добавить $\dot x^2+\dot y^2\ne 0$

-- 08.08.2024, 22:53 --

либо , вместо этого, считать, что отображкение является биекцией на свой образ -- тога самопересечения исключаются, что тоже нежелательно

-- 08.08.2024, 22:57 --

или считать, что кривая это множество составленное из нескольких <<хороших >> кусков т.е. кусков с условием
drzewo в сообщении #1648910 писал(а):
$\dot x^2+\dot y^2\ne 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group