Не до конца понимаю приём сигнала при соглас. фильтрации

[Kevsh]

Ниже речь идёт про цифровую связь.
Импульсная характеристика согласованного фильтра - это зеркальное отображение относительно оси $t=0$ переданного сигнала, запаздывающее на время передачи символа. Если мы запишем свёртку входного сигнала с импульсной характеристикой такого фильтра и всё немного упростим, то получим следующее равенство:

$$z(t)=\int\limits_{0}^t r(\tau)s(T-t+\tau)d\tau,$$

где $r(\tau)$ - полученный сигнал, $s(t)$ - переданный сигнал, $T$ - время передачи сигнала.
В момент времени $t=T$ эта функция будет равна корреляции переданного и полученного сигналов:

$$z(T)=\int\limits_{0}^T r(\tau)s(\tau)d\tau.$$

Отсюда появляется логичный способ определения символа - рассчитать корреляцию принятого сигнала со всеми возможными сигналами из алфавита, сравнить отклики корреляторов и найти максимальный. То есть с чем больше всего коррелирует, то скорее всего и передали.
Я сейчас занимаюсь по книге Бернарда Скляра "Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение" и именно это там и написано (см. верх страницы). А в схеме приёма (рис. 3.8) уже представлен один коррелятор, который коррелирует с разностью $s_1(t)-s_2(t)$. Тут как-будто страницу вырвали - откуда разность? Ранее писалось, что $s_1(t)$ и $s_2(t)$ - это классы сигнала, то есть, как я понял, возможные варианты передаваемого сигнала (если в алфавите всего два сигнала).

Далее рассматривается униполярная передача. И опять эта разность. И ещё в единственной непронумерованной тут формуле указано, что математическим ожиданием того, что при принятой выборке $z(T)$ был передан сигнал $s_1(t)$ является математическое ожидание корреляции принятой выборки с переданным символом. Опять же, почему - не понимаю.

И вот уже биполярная передача. И вот они два коррелятора! Во почему их выходы вычитаются я ещё могу понять, по сути это аналог сравнения.

Но и вообще к этому методу детектирования у меня вопросы. Обычно после того, как мы скорректировали уровень принимаемого сигнала, определили его символьную частоту и подстроили его несущую частоту решающее устройство получает уже просто поток мягких решений. То есть, допустим, алфавит у нас такой: $\{-2;-1;1;2\}$, а мягкие решения это что-то типа $1,14$; $-1,9$; $2,04$ и так далее. Что тут интегрировать? По сути в данном случае мы максимум можем перемножить это мягкое решение и значение символа. Тогда получается, что если мы приняли значение $1,14$, то максимальную "корреляцию" (т.е. произведение) выдаст коррелятор с двойкой, потому что произведение будет максимальным именно с этим символом. Хотя мягкое решение явно ближе к символу $1$. Если бы мы интегрировали всё, как в книге, получили бы то же самое, только нужно было бы ещё на время умножить. Видимо, для этого и берётся разность сигналов в схеме с коррелятором, но я всё равно до конца этот метод не понимаю.

[Alex-Yu]

Kevsh в сообщении #1648678 писал(а):

То есть, допустим, алфавит у нас такой: $\{-2;-1;1;2\}$,

Таких алфавитов не бывает в данном контексте. Элемент алфавита -- это ФУНКЦИЯ (от времени). В принципе может быть функция равная константе. Вот ее и интегрировать. Точнее интегрировать сигнал на интервале элемента такого алфавита (опорный сигнал -- постоянный множитель, выносится из под интеграла) . Сигнал же зашумлен, константой уже не является.

-- Вт авг 13, 2024 15:58:41 --

Kevsh в сообщении #1648678 писал(а):

если мы приняли значение $1,14$, то максимальную "корреляцию" (т.е. произведение) выдаст коррелятор с двойкой,

Так только для функционально ортогональных элементов алфавита (в вашем же примере они совсем не ортогональные, все пропорциональны друг другу). В этом же случае надо взять максимально близкое значение, т.е. 1.

P.S. И да, еще. Все это ТОЛЬКО для гауссового дельта-коррелированного шума. Для не дельта-коррелированного шума все несколько сложнее. А для негауссового шума и еще сложнее (в общем случае вообще не известно как, во всяком случае пока никто не знает как, хотя некоторые варианты негауссовых шумов решаются).

[Kevsh]

Alex-Yu
Спасибо за ответ. В книжке почему-то не написано, что элементы алфавита должны быть ортогональными, либо я слепой... В любом случае, елси несколько раз это всё перечитать, то становится ясно, что это условие обязательно, если в алфавите больше двух элементов (в этом случае можно распознавать символ по знаку корреляции).