An equation over finite field

[nnosipov]

Let $p>2$ be a prime. Find the number of solutions $(u,v,w)$ over $\mathbb{F}_p$ to the equation $w^2=(u^2-1)(v^2-1)(v^2-u^2)$.

Комментарий. А вот эту задачу редакторы "Problems and Solutions" в AMM взять не пожелали (судя по формальной отписке, по той причине, что я, вероятно, перебрал квоту по публикациям в этом году). Ну и зря, задача вполне содержательная. Здесь "найти" нужно понимать как указать такую формулу, по которой искомое число решений можно быстро вычислить для больших $p$.

[nnosipov]

Ну что, господа, может, все-таки попробуем решить задачу? Или она кажется безнадежной? Единственная задача из этой партии, которая осталась без каких-бы то ни было комментариев.