1-формы и волны де Бройля

[Poehavchij]

Мизнер, Торн, Уиллер "Гравитация". Параграф 2.5

Цитата:

Но в физике известен и другой подход к понятию импульса, при котором каждой частицы приписывается волна де Бройля. Более того, эта волна имеет самый непосредственный физический смысл. Пусть эта волна испытывает дифракцию на кристаллической решетке. Картина дифракции позволяет определить не только длину волн де Бройля, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют поверхности равных целочисленных значений фазы $\varphi = 7, \varphi = 8, \varphi = 9, ...$. Эта конфигурация поверхностей, которую мы обозначим $ \mathbf{\tilde{k}}$, дает простейшую иллюстрацию, которую удаётся найти для 1-формы

Честно говоря, я слегка запутался, и не совсем понимаю что все таки тут имеется ввиду. Может кто то сможет объяснить словами или картинкой. И под фазой, тут возможно имеется ввиду фаза деленная на $2\pi$ ? И является ли поверхностями плоскости или все таки волновые поверхности. Какие именно волны после дифракции тут имеется ввиду.
Ну и соответственно, я не знаю как решить упражнение:
Докажите, что уравнение $\mathbf{p} \cdot \mathbf{v } = \left\langle \mathbf{\tilde{p} },\mathbf{v}\right\rangle$ согласуется с квантовомеханическими свойствами волны де Бройля
$\psi = e^{i\varphi} = exp[i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} + \omega t)]$
(Выражение в угловых скобках имеется ввиду действие 1-формы на вектор)