В этом параграфе мы научимся переходить от произвольного 4-тензора к набору его трёхмерных проекций и обратно.
§6 Расщепление мировых тензоровРассмотрим произвольный 4-вектор

и проведём следующее сопоставление:

где

Используя

и закон преобразования 4-вектора, несложно убедиться, что при хронометрических преобразованиях

ведёт себя как

-нечётный хинвариант, а

— как

-чётный хивектор.
Объекты

образуют
полный набор проекций и полностью определяют 4-вектор

. Чтобы это увидеть, распишем тождество

:

Подставляя сюда

и решая систему, получаем все компоненты 4-вектора

, выраженные через его проекции

:

где

.
Как известно, любой тензор

можно представить в виде конечной суммы слагаемых вида

, где

— некоторые векторы. Этот факт символически запишем в виде

Практически это означает, что при составлении проекций произвольного тензора с каждым индексом можно работать независимо. Так, для тензоров второго ранга, аналогично

, можно составить четыре проекции

Разберём симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга по отдельности. Сперва рассмотрим симметричный тензор

, для которого справедливо представление

которое можно упростить, переписав выражение под суммой в форме

. Так что, в действительности

Симметричный тензор общего вида имеет три проекции:

где

Легко видеть, что

—

-чётный хинвариант,

—

-нечётный хивектор, а

—

-чётный симметричный хитензор.
Далее используем представление

и получим для проекций

следующие выражения

Используя эти соотношения, мы можем выразить любые компоненты

через проекции. Например,

Остальные компоненты находятся аналогичным образом. Полный их список таков:

Теперь рассмотрим антисимметричный тензор

, который может быть представлен в форме

Антисимметричный тензор общего вида имеет две проекции:

где

По отношению к хронометрическим преобразованиям

является

-нечётным хивектором, а

—

-чётным антисимметричным хитензором. Часто бывает удобно использовать вместо

дуальный ему

-чётный псевдо-хивектор

(смотри по этому поводу §4).
Пользуясь

, находим

:

И, так же как для симметричного тензора, получаем перечень

В заключение найдём проекции симметричного тензора специального вида

Результат следующий:

Немного упростим его при помощи формул

и

.
Окончательно получаем:
ЗадачаТензор

обладает следующими симметриями:


Составьте для него
полный набор проекций. Какими симметриями они обладают?