Инвариантность длины вектора

[sergey zhukov]

Вектор преобразуется, как;

$$A^i=\frac{\partial x^i}{\partial x^{'j}}A^j$$

А ковектор, как:

$$A_i=\frac{\partial x^{'j}}{\partial x^{i}}A_j$$

Допустим, в двумерном случае вычислим квадрат вектора в одних и других координатах:

$$A^2=A^1A_1+A^2A_2=(\frac{\partial x^1}{\partial x^{'1}}A^{'1}+\frac{\partial x^{1}}{\partial x^{'2}}A^{'2})(\frac{\partial x^{'1}}{\partial x^1}A^\prime_1+\frac{\partial x^{'2}}{\partial x^1}A^\prime_2)+(\frac{\partial x^2}{\partial x^{'1}}A^{'1}+\frac{\partial x^2}{\partial x^{'2}}A^{'2})(\frac{\partial x^{'1}}{\partial x^2}A^\prime_1+\frac{\partial x^{'2}}{\partial x^2}A^\prime_2)=$$

$$2(A^{'1}A^\prime_1+A^{'2}A^\prime_2)$$

Что-то я не то делаю. Каждое произведение скобок дает $A^{'1}A^\prime_1+A^{'2}A^\prime_2$. Почему двойной результат?

[dgwuqtj]

Коэффициент при $A^{\prime 1} A'_1$ равен $\frac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 1}} \frac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^1} + \frac{\partial x^2}{\partial x^{\prime 1}} \frac{\partial x^{\prime 1}}{\partial x^2} = 1$, матрицы Якоби ведь обратны друг к другу.

[Утундрий]

sergey zhukov
Вы частные производные как дроби сократили?

[drzewo]

длина вектора бывает там где есть метрика

-- 29.07.2024, 22:09 --

sergey zhukov в сообщении #1647758 писал(а):

Вектор преобразуется, как;

$$A^i=\frac{\partial x^i}{\partial x^{'j}}A^j$$

А ковектор, как:

$$A_i=\frac{\partial x^{'j}}{\partial x^{i}}A_j$$

и эти вектор и ковектор не имеют друг ко другу никакого отношения даже если названы одной буквой. Штрихи поправьте.

[sergey zhukov]

Утундрий в сообщении #1647763 писал(а):

Вы частные производные как дроби сократили?

Так точно. Показалось, что так нормально.

dgwuqtj
Да, производные $\frac{\partial x}{\partial x^'}$ и $\frac{\partial x^'}{\partial x}$ - это вовсе не взаимно обратные величины. Я проверил.
В общем, прояснилось, спасибо. В ЛЛ просто эта проверка написана в одну строчку, и мне показалось, что там все легче, чем на самом деле.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1647814 писал(а):

Показалось, что так нормально.

Когда кажется — учиться надо.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1647814 писал(а):

Да, производные $\frac{\partial x}{\partial x^'}$ и $\frac{\partial x^'}{\partial x}$ - это вовсе не взаимно обратные величины.

Этим и отличаются частные производные от полных. В многомерном случае. Они - компоненты взаимно обратных матриц.

[sergey zhukov]

Вот еще вопрос. У ЛЛ рядом с формулой (83.13) выписано преобразование абсолютно антисимметричного единичного тензора от галилеевых к произвольных криволинейным координатам. Сказано, что компоненты этого тензора в криволинейных координатах оказываются просто пропорциональными его компонентам в галилеевых координатах с коэффициентом $J$, т.е:

$$E^{iklm}=Je^{jklm}$$

Сказано далее, что $J$ - определитель якобиана преобразования координат, и его можно выразить через определитель метрического тензора. Дальше написано:

$$g^{ik}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{'l}}\frac{\partial x^k}{\partial x^{'m}}g^{lm(0)}$$

Не понятно, что такое $(0)$? Это вместо штриха написано?

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1647826 писал(а):

что такое $(0)$

Галилеева метрика.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1647826 писал(а):

Сказано далее, что $J$ - определитель якобиана преобразования координат,

Разгадка в том, что если выписать формулу преобразования тензора $e^{ijkl}$ в $E^{0123}$, то увидим в точности формулу определителя матрицы Якоби. Аналогично для других компонент.

sergey zhukov в сообщении #1647826 писал(а):

и его можно выразить через определитель метрического тензора.

Вот тут интереснее: Разгадка в том, что определитель, составленный из компонент тензора $g_{ij}$, можно записать как $\varepsilon^{ijkl} \varepsilon^{pqrs} g_{ip} g_{jq} g_{kr} g_{ls}$, где $\varepsilon^{ijkl}$ - абсолютно симметричная единичная в любых координатах псевдотензорная конструкция.

[drzewo]

может ТС стоит начать изучать тензоры с линейной алгебры, там якобиан не содержит производных по крайней мере

[sergey zhukov]

drzewo
Ну вот я на линейных преобразованиях и посмотрел, что к чему.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1647830 писал(а):

Разгадка в том, что если выписать формулу преобразования тензора $e^{ijkl}$ в $E^{0123}$

Действительно. Это я проверил.

epros в сообщении #1647830 писал(а):

Вот тут интереснее:

А тут я понял так, что если взять определитель от обеих частей равенства:

$$g^{ik}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{'l}}\frac{\partial x^k}{\partial x^{'m}}g^{lm(0)}$$

то определитель произведения равен произведению определителей, и справа будет:

$$det(\frac{\partial x^i}{\partial x^{'l}})det(\frac{\partial x^k}{\partial x^{'m}})det(g^{lm(0)})$$

Два первых определителя - это как раз $J$. Или так нельзя?

[Утундрий]

Льзя.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1652768 писал(а):

определитель произведения равен произведению определителей

Да, в принципе этого достаточно для понимания того, почему корень из $|g|$ преобразуется (почти) как плотность.

Но я ещё хотел обратить внимание на связь этого факта с символами Леви-Чивиты. Кстати, там я несколько поспешил и потерял множитель $\frac{1}{24}$ перед:

epros в сообщении #1647830 писал(а):

$\varepsilon^{ijkl} \varepsilon^{pqrs} g_{ip} g_{jq} g_{kr} g_{ls}$

Дело в том, что $g=\varepsilon^{ijkl} g_{i0} g_{j1} g_{k2} g_{l3}$ (прямо следуя определению). Это можно переписать как: $g=\varepsilon^{ijkl} \varepsilon^{0123} g_{i0} g_{j1} g_{k2} g_{l3}=\frac{1}{24} \varepsilon^{ijkl} \varepsilon^{pqrs} g_{ip} g_{jq} g_{kr} g_{ls}$ (в силу того, что четвёрка чисел допускает 24 перестановки). А последнее является формулой "свёртки" тензороподобных конструкций по восьми парам индексов. Поскольку мы знаем, что символы Леви-Чивиты преобразуются как контравариантная тензорная плотность, то вся конструкция преобразуется как квадрат скалярной плотности.

Следует иметь в виду, что метрический тензор не уникален в этом плане, т.е. определитель любого дважды ковариантного тензора будет преобразовываться как квадрат скалярной плотности. Поэтому для перехода от тензоров, векторов или скаляров к плотностям (и обратно) пространству не обязательно быть метрическим.