Трансфинитная индукция

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #264363 писал(а):

Сначала (трансфинитной индукцией) мы показываем, что для каждого $x\in S$ существует единственная определенная на $S_x$ функция $f_x$ такая, что $(\forall\,y\in S_x)\ f_x(y)=v(f_x|_{S_y})$. По аксиоме подстановки существует множество $F:=\{f_x:x\in S\}$. Наконец, применяя аксиому объединения, получаем искомую функцию $f:=\cup F=\bigcup_{x\in S}f_x$. Кстати, эта идея повторяет себя на предельном индукционном шаге: доказательство существования $f_x$ для предельного $x$ проводится по той же схеме. Т.е. доказательство получается как бы фрактальным. (И кажется, Френкель, что-то там оптимизировал, чтобы не повторяться.)

Френкель использует аксиому объединения для доказательства существования функции на каждом начальном фрагменте не имеющем последнего элемента. И тогда, в частности, функция существует и на всём множестве, так как само множество начальный фрагмент самого себя.

AGu в сообщении #264363 писал(а):

Фраза «если уже заданы значения для всех элементов предшествующих данному элементу» означает, что значение $f(x)$ искомой функции $f$ на данном элементе $x\in S$ определяется некоторой конструкцией $v$ по сужению $f|_{S_x}$ функции $f$ на $S_x:=\{y\in S:y<x\}$. Стало быть, все, что у нас пока есть, — это условие на искомую функцию $f$, имеющее вид $(\forall\,x\in S)\ f(x)=v(f|_{S_x})$. Проблема в том, что в равенстве $f(x)=v(f|_{S_x})$ в правой части участвует символ $f$. Если бы его там не было, т.е. если бы было выражение вида $f(x)=v(S_x)$, то действительно каждому элементу $x\in S$ было бы сопоставлено «конкретное» множество $v(S_x)$. Но при участии в правой части символа $f$ это не «конкретное» множество, а множество, определяемое самой функцией $f$, существование которой нам еще предстоит доказать.

Поэтому изначально у нас нет конкретного «задания функции», у нас есть лишь условие на функцию. Рекурсивное. Не было бы рекурсии — было бы «задание» $f(x):=v(S_x)$. И тогда искомая функция возникла бы гораздо проще — сразу из аксиомы подстановки — как множество $\bigl\{\bigl(x,v(S_x)\bigr):x\in S\bigr\}$.

Искренне жаль, что этот кусок отсутствует в учебниках по теории множеств! Ему бы там самое место. Мне всегда казалось, что в построениях по трансфинитной индукции подозревают барона Мюнхаузена (сам себя вытащил за шиворот), но я не смог сам сформулировать суть этого подозрения. Спасибо!