Теорвер. Задача на тему Характеристические фунции

[ihq.pl]

Задача 12 из задачника Вероятность в теоремах и задачах (с решениями) Книга 1, Ширяев, Эрлих, Яськов.

Надо доказать, что если $\varphi(t)$ -- характеристическая функция, то функция $|\varphi(t)|$, вообще говоря, характеристической не является. В задачнике в качестве контрпримера приводится функция $\cos t$, которая является характеристической для бернулиевской с.в., принимающей значения -1, 1 с вероятностями 1/2. Аргумент:

Функция $|\cos t|$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Если бы функция $|\cos t|$ была характеристической, то согласно теореме 1 из Вероятность-I, гл. 2, §12 это бы означало, что она дифференцируема всюду, что, очевидно, не так.

Попытка. Пусть $\psi(t) = |\cos t|$. В теореме 1 доказываются семь основных свойств характеристических функций. Использую свойства 6 и 7. Свойство 6: если существует и является конечной $\varphi^{(2n)}(0)$, то $\mathsf{E}\xi^{2n}<\infty$. Ясно, что $\mathsf{E}\xi^{2n} = (-i)^{2n}\psi^{(2n)}(0) = 1$ для любого $n$. Из неравенства Ляпунова следует, что $\mathsf{E}|\xi|\leqslant(\mathsf{E}|\xi|^2)^{1/2}\leqslant...\leqslant (\mathsf{E}|\xi|^{2n})^{1/2n}$. Свойство 7 теоремы: если $\mathsf{E}|\xi|^n<\infty$ для всех $n\geqslant 1$, и верхний предел последовательности $\{(\mathsf{E}|\xi|^{n})^{1/n}/n\}$ равен $1/(eT)$, где $T>0$, то характеристическая функция является аналитической на интервале $(-T,T)$. В моем случае $T=\infty$ и поэтому $\psi(t)$ - аналитическая на всей оси и, значит, дифференцируема в каждой точке.

Судя по написанному в задачнике, достаточно и того, что $\psi(t)$ дифференцируема в нуле вплоть до второго порядка. Как это доказать, не понимаю.

[mihaild]

Вам не нужно седьмое свойство, а нужно пятое - если у величины конечный $k$-й момент, то характеристическая функция $k$ раз дифференцируема.

[ihq.pl]

mihaild
спасибо. Не туда понесло)..