Система линейных уравнений

[Edward_Tur]

Имеется система из $n$ уравнений, $j=1,...,n$ :

$$\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{(2j)^2-(2i-1)^2}=1.$$

Вычислить $\sum_{i=1}^n x_i.$

[Markiyan Hirnyk]

$n+2n^2$

[ozheredov]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1647137 писал(а):

$n+2n^2$

Это система компьютерной алгебры ATLAS получила?
(Нечто невидимое удерживает меня от мысли, что Вы смогли вычислить это аналитически.)

[thething]

Перепишем систему в виде $\dfrac{x_1}{t-1^2}+\dfrac{x_2}{t-3^2}+...+\dfrac{x_n}{t-(2n-1)^2}=1$ и приведём к общему знаменателю:

$$x_1(t-3^2)...(t-(2n-1)^2)+x_2(t-1^2)...(t-(2n-1)^2)+...+x_n(t-1)^2...(t-(2n-3)^2)=(t-1^2)...(t-(2n-1)^2).$$

Относительно $t$ имеем многочлен степени $n$, коэффициент при $t^{n-1}$ равен $-1^2-3^2-5^2-...-(2n-1)^2-\displaystyle\sum\limits_{i=1}^nx_i$, а, с другой стороны, учитывая, что $2^2,4^2,...,(2n)^2$ -- его корни, по теореме Виета получаем, что это выражение равно $-2^2-4^2-...-(2n)^2$. Выходит ответ для суммы $2n^2+n$.