Оператор квадрата углового момента

[intex2dx]

В задачнике Белоусова есть такое свойство для оператора квадрата углового момента $\hat{\textbf{l}}^2$ (которое нетрудно доказать):

$$[\hat{\textbf{l}}^2, \hat{\textbf{A}}] = i([\hat{\textbf{A}} \times \hat{\textbf{l}}] - [\hat{\textbf{l}} \times \hat{\textbf{A}}])$$

Здесь квадратные скобки без креста - коммутатор, а с крестом - векторное произведение.

Я решил рассмотреть произвольный скалярный оператор $\hat{A}$ и поставить ему в соответствие векторный оператор $\hat{\textbf{A}} = (0,0, \hat{A})^T$. Тогда получим, что $[\hat{\textbf{l}}^2, \hat{A}]$ есть третья компонента коммутатора с соответствующим векторным оператором $\hat{\textbf{A}}$. Но, как несложно видеть, эта компонента (как и две остальные, кстати) равна нулю, поэтому получаем, что $\hat{\textbf{l}}^2$ коммутирует с любым скалярным оператором.

Но тогда получим, что $\hat{\textbf{l}}^2$ коммутирует и с любым векторным оператором, и вообще выражение для коммутатора из Белоусова должно всегда обращаться в ноль. Вроде как это правда, т.к. для произвольного векторного оператора в каждой компоненте этого выражения будет сумма коммутаторов компонент $\hat{\textbf{l}}$ со скалярными операторами - компонентами $\hat{\textbf{A}}$, а компоненты $\hat{\textbf{l}}$ коммутируют с любым скалярным оператором.

Однако, как мне кажется, утверждение, что $\hat{\textbf{l}}^2$ коммутирует с любым оператором очень странное по двум причинам:
1) как будто бы из этого может следовать, что оператор пропорционален единичному, то есть квадрат момента импульса всегда имеет определенное значение, что очевидно неверно
2) в задаче, где просили доказать это соотношение, ничего не сказано про то, что оно равно нулю в итоге

Прошу объяснить, действительно ли $\hat{\textbf{l}}^2$ коммутирует со всеми операторами или я где-то допустил ошибку?

[amon]

intex2dx в сообщении #1646965 писал(а):

Получаем, что $\hat{\textbf{l}}^2$ коммутирует с любым скалярным оператором.

Это правда. С высоты комариного полета это следует из того, что $L$ это генератор поворота. Бесконечно малый поворот с точностью до членов первого порядка можно представить как $\hat R=\hat I+\har L\varphi.$ Поскольку скаляр $A$ при повороте не преобразуется: $RAR^{-1}=A$ и с точностью до первого порядка $R^{-1}=\hat I-\har L\varphi,$ то $[L,A]=0.$

[pppppppo_98]

intex2dx в сообщении #1646965 писал(а):

Я решил рассмотреть произвольный скалярный оператор $\hat{A}$ и поставить ему в соответствие векторный оператор $\hat{\textbf{A}} = (0,0, \hat{A})^T$.

Уже в этом месте не правильно. Невозможно сопоставить скаляру компоненту вектора, ибо она зависит от выбранного координатного базиса