Равенство взаимно обратных функций

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Прошу, пожалуйста, подсказать со следующим вопросом.
Имеется уравнение вида $f(x)=f^{-1}(x)$, где слева некая функция, а справа - обратная ей функция. При условии, что обратная ей существует и с ней не совпадает. На области действительных чисел.

Наверняка у такого уравнения есть некие особенности решения, которые полезно было бы знать, однако нигде такой информации найти мне не удается.
Например, в каком-то пособии я читал, что хотя бы один корень такого уравнения должен лежать на прямой $y=x$.
Интересно понять: всегда ли уравнение такого вида имеет корни? А не является ли верным утверждение, что все корни такого уравнения лежат на прямой $y=x$? И существует ли какое-то условие, при котором можно было бы утверждать, что все корни такого уравнения лежат на $y=x$? Интуитивно кажется, что как-то это должно работать, однако ж далеко не факт...

Буду благодарен, если подскажете по сути вопроса или посоветуете литературу по данному вопросу!

[Anton_Peplov]

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

На области действительных чисел.

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

Например, в каком-то пособии я читал, что хотя бы один корень такого уравнения должен лежать на прямой $y=x$.

Корень этого уравнения - действительное число. Что может значит предложение "действительное число $a$ лежит на прямой $y=x$" ?

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

Интересно понять: всегда ли уравнение такого вида имеет корни?

Рассмотрите $f(x) = e^x$.

Кстати, в комплексной плоскости, кажется, должно быть интереснее.

[Twidobik]

Anton_Peplov в сообщении #1646560 писал(а):

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

На области действительных чисел.

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

Например, в каком-то пособии я читал, что хотя бы один корень такого уравнения должен лежать на прямой $y=x$.

Корень этого уравнения - действительное число. Что может значит предложение "действительное число $a$ лежит на прямой $y=x$" ?

Да, я выразился некорректно, прошу прощения. Наверно, лучше так: если $a$ - корень уравнения, то $f(a)=f^{-1}(a)=g(a)$, где $g(x)=x$. Для любого ли уравнения такого типа, где a - корень, будет выполняться утверждение, вот что я подразумевал.

Указанную функцию рассмотрю, спасибо!

[Anton_Peplov]

Twidobik в сообщении #1646570 писал(а):

Наверно, лучше так: если $a$ - корень уравнения, то $f(a)=f^{-1}(a)=g(a)$, где $g(x)=x$.

Наверно, лучше так: если $f(a)=f^{-1}(a)$, то $f(a) = a$. Вы это хотели сказать? Так это неверно, и контрпример строится легко (функция с двумя подходящими устранимыми разрывами).

Очевидно обратное утверждение: если $f(a) = a$ (т.е. $a$ - неподвижная точка функции $f$), то $f(a)=f^{-1}(a)$. Отсюда, если $f$ имеет неподвижную точку $a$, то эта точка есть корень уравнения $f(x)=f^{-1}(x)$. Не все функции имеют неподвижную точку, но сжимающие - имеют.

[thething]

Можно показать, что, если $f$ -- не убывающая и $f(f(x))=x$, то $f(x)=x$. Действительно, если предположить, что $f(x)=y$, то получаем $f(y)=f(f(x))=x$. Условие $x\le y$ даёт $y=f(x)\le f(y)=x$. Аналогично рассматривается случай $y\le x$. В итоге получаем, что $y=x$.

В общем случае (без предположения о неубывании) данное утверждение неверно. Рассмотрите, например, $f(x)=-x$.

[adfg]

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

Имеется уравнение вида $f(x)=f^{-1}(x)$, где слева некая функция, а справа - обратная ей функция.

Например, в каком-то пособии я читал, что хотя бы один корень такого уравнения должен лежать на прямой $y=x$.
Интересно понять: всегда ли уравнение такого вида имеет корни? А не является ли верным утверждение, что все корни такого уравнения лежат на прямой $y=x$? И существует ли какое-то условие, при котором можно было бы утверждать, что все корни такого уравнения лежат на $y=x$?

Легко показать, что график функции $f^{-1}(x)$ является зеркальным отражением графика исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$

Отсюда следует, что если график исходной функции не пересекает диагональ $y=x$ ни в одной точке, то корней очевидно нет

Если пересекает хотя бы в одной точке, то эта точка очевидно и есть корень уравнения

Если имеется хотя бы один корень, лежащий за пределами диагонали, то точка симметричная относительно прямой $y=x$, очевидно тоже будет являться корнем этого же уравнения. То есть для того чтобы корень лежал за пределами диагонали, необходимо и достаточно чтобы исходная функция $f(x)$ проходила бы через 2 точки, взаимно симметричные относительно прямой $y=x$

На этом вроде всё. Примеры строятся легко

[мат-ламер]

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

А не является ли верным утверждение, что все корни такого уравнения лежат на прямой $y=x$?

Можно показать, что существует такая функция $f(x)$ , для которой любая точка вещественной прямой будет корнем исходного уравнения. Но, тем не менее, у уравнения $x=f(x)$ корней не будет. Для этого разобьём вещественную прямую на пары точек. И каждой точке поставим вторую точку из пары. Возможность такого разбиения наверное следует из аксиомы выбора. Как это осуществить конструктивно - не знаю.

Anton_Peplov в сообщении #1646560 писал(а):

Рассмотрите $f(x) = e^x$.

Это не стыкуется с условием:

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

При условии, что обратная ей существует и с ней не совпадает. На области действительных чисел.

Это, если я правильно понял смысл последнего предложения тут.

[Anton_Peplov]

мат-ламер в сообщении #1646829 писал(а):

Это не стыкуется с условием:

Да, не стыкуется. Это просто первый приходящий в голову пример, когда уравнение $f(x) = f^{-1}(x)$ не имеет решений в действительных числах. При желании можно подобрать пример и с биекцией $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1646829 писал(а):

И каждой точке поставим вторую точку из пары

Инволюции как раз запрещены.

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

и с ней не совпадает

мат-ламер в сообщении #1646829 писал(а):

Как это осуществить конструктивно - не знаю.

На целых числа четные вправо, нечетные влево, на остальных - умножением на $-1$.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1646831 писал(а):

Инволюции как раз запрещены

Думаю, что это можно поправить, переопределяя функцию в некоторых точках.
Хотя, чувствую, что манипуляциями с конечным числом точек положение не исправишь.

Twidobik в сообщении #1646559 писал(а):

и с ней не совпадает.

Не совпадает - значит не совпадает хотя бы в какой-то конкретной точке. Если не совпадает во всех, то у исходного уравнения вообще корней нет.

Было бы интересно ответить на вопросы из первого поста, если от исходной функции потребовать непрерывность. А то с разрывными функциями можно разное попридумывать.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1646834 писал(а):

Хотя, чувствую, что манипуляциями с конечным числом точек положение не исправишь

Раз $f$ биекция, то исходное уравнение равносильно $f(f(x)) = x$. Если множество корней - вся прямая, то функция совпадает со своей обратной, что запрещено. Множеством корней вся прямая без одной точки быть не может. С аксиомой выбора любое другое множество - может. Без неё могут быть и другие множества, не являющиеся множеством корней.

мат-ламер в сообщении #1646834 писал(а):

Было бы интересно ответить на вопросы из первого поста, если от исходной функции потребовать непрерывность

Для непрерывных функция рассуждение adfg вроде бы всё что можно говорит.

[drzewo]

(Оффтоп)

Отображение $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ непрерывно и $f(f(x))=x$. Верно ли, что $f$ имеет неподвижную точку?

[dgwuqtj]

Вообще есть большая деятельность про описание конечных групп гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (в основном как раз про периодические отображения). Можно начать с https://arxiv.org/abs/math/0303256.

[Twidobik]

Я благодарю всех за помощь в этом вопросе!
Внимательно прочитал Ваши сообщения и постарался разобраться.

Позвольте тогда уточнить вот какой момент.
Предположим, у нас есть такое уравнение, которое нужно решить в действительных числах: $x^2-1=$\sqrt{x+1}$$.
Один корень угадывается легко: $x=-1$.
А дальше, чтобы не возводить в квадрат и не получать кубическое уравнение, сказать следующее: на области $x>0$ функции слева и справа взаимно обратные, значит, если там есть корень, то он будет и корнем уравнения $x^2-1=x$, которое намного проще исходного. Из двух корней квадратного уравнения выбираем положительный.
Итого, нашли два корня, а больше ветка функции квадратного корня и параболы иметь не может.

Можно ли решать такого типа уравнения, используя таким образом свойство взаимно обратных функций?