Ковариантное дифференцирование псевдотензоров

[extra_nt]

Изучаю учебное пособие Г. В. Коренева - "Тензорное исчисление" (у меня на руках 4-е издание). Вывожу все результаты сам вслед за автором. Таким образом нашёл уже 11 опечаток. Дошёл до ковариантного дифференцирования псевдотензоров. Автор вываливает такую общую формулу (опуская доказательство):
$s^{i \dots k}_{m \dots n , l} = \frac{\partial s^{i \dots k}_{m \dots n}}{\partial q^l} - M s^{i \dots k}_{m \dots n} \Gamma^{p}_{pl} + \Gamma^{i}_{pl} s^{p \dots k}_{m \dots n} + \dots + \Gamma^{k}_{pl} s^{i \dots p}_{m \dots n} - \Gamma^{p}_{ml} s^{i \dots k}_{p \dots n} - \dots - \Gamma^{p}_{nl} s^{i \dots k}_{m \dots p}$
Тут у нас псевдотензор веса M. Отличие данной формулу в случае истинного тензора только в члене с весом M (там он отсутствует).
Вывод подобной формулы для истинных тензоров есть у автора. Всё доказательство идёт от рассмотрения параллельного переноса векторов. Я пробовал доказать тоже самое для псевдотензоров, рассматривая параллельный перенос псевдовекторов, но в итоге не могу получить множитель $M s^{i \dots k}_{m \dots n} \Gamma^{p}_{pl}$
Был бы очень благодарен, если кто-то сможет объяснить, как эту формулу получить.

[drzewo]

мпожет вас такой способ изложения устроит
https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/ZubelevichPavlovskij2008ru.pdf
а вообще, <<тензорный анализ>> это часть дифференциальной геометрии и надо гуглить tensor density и искать книжку по дифгему

[lazarius]

extra_nt в сообщении #1646105 писал(а):

Был бы очень благодарен, если кто-то сможет объяснить, как эту формулу получить.

В книжке, по которой я знакомился с тензорами, дается немного другое определение ковариантной производной относительного тензора веса $W$ (в терминологии Коренева - псевдотензора) и из этого определения можно вывести формулу из книжки Коренева.

Вот ссылка на книжку в формате PDF (~20Mb):

https://ia802903.us.archive.org/22/item ... _g_hay.pdf

Про тензоры там только последняя глава 6 и нас интересует формула 80.5:

$\displaystyle A^{...}_{...|r} = g^{\frac{1}{2}W} (g^{-\frac{1}{2}W} A^{...}_{...})_{|r}$

Очевидно, в скобках абсолютный тензор (в терминологии Коренева - истинный). Подставляем формулу для ковариантной производной абсолютного тензора и получаем дополнительный член формуле для относительного. Для простоты я выписываю только множитель при относительном тензоре в дополнительном члене:

$\displaystyle (\sqrt{g})^W \frac{\partial}{\partial z^r}((\sqrt{g})^{-W})=-W\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial z^r}\sqrt{g}=-W F^s_{rs}$

В последнем переходе использован результат задачи 21 в конце главы.

Я заметил что у Коренева наоборот - этот результат выводится из определения ковариантной производной относительного тензора но вот предлагаю посмотреть задачи 20 и 21 в конце главы в этой книжке - там этот результат получается в лоб.

[extra_nt]

Спасибо за ответы и за книжки. Буду дальше разбираться.

[lazarius]

extra_nt в сообщении #1646169 писал(а):

Буду дальше разбираться.

Наверно я был не совсем прав.

В книжке G.E. Hay принят немножко шапкозакидательский подход. Конечно же определять ковариантную производную относительного тензора через детерминант метрического значит ограничивать римановыми пространствами. Следует определять для пространств с аффинной связностью - только с объектом связности.

Придется и мне с этим разбираться. :)

[extra_nt]

Получается, что нужно как-то выводить аналогичное уравнение параллельного переноса для псевдовекторов, а затем обобщать его на любой порядок? Если найдёте решение, пожалуйста поделитесь