Гамильтонова система

[drzewo]

Дана гамильтонова система с гладкой функцией Гамильтона $H:M\to\mathbb{R}$, определенной на симплектическом многообразии $M$ с локальными каноническими координатами $(p_1,\ldots,p_m,x^1,\ldots,x^m),\quad \alpha=p_idx^i$.

Пусть $\Sigma\subset M$ -- гладкое подмногообразие, $\dim\Sigma=l\le 2m$. Многообразие $\Sigma$ состоит из замкнутых траекторий гамильтоновой системы, $dH\mid_\Sigma\ne 0$.

Через $\gamma(z)$ обозначим замкнутую траекторию, проходящую через точку $z\in\Sigma,\quad (\gamma(z)\subset\Sigma)$. Через $\tau(z)$ обозначим период на этой траектории.

Положим $J(z)=\int_{\gamma(z)}\alpha,\quad z\in \Sigma.$
Доказать:

$$dJ(z)=-\tau(z) dH(z),\quad z\in \Sigma.$$

[drzewo]

Из результата этой задачи особенно просто выводится формула зависимости периода обращения планеты в задаче Кеплера. Достаточно получить эту формулу для круговых траекторий.