Мне скучно, бес(с)
В учебнике Карманова <<Математическое программирование>> написано, что координатный конус
![$\{x_1\ge 0,\ldots,x_m\ge 0\}$ $\{x_1\ge 0,\ldots,x_m\ge 0\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/b/ebb33ea91d96db0e6155ef83014f8b0982.png)
в
![$\mathbb{R}^m$ $\mathbb{R}^m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/8/1281caf41453d6d5cb92c8276ef582dd82.png)
переводится любым линейным оператором в замкнутое множество.
Сей факт не может не будоражить воображение. Возникает масса нездоровых вопросов. Например, а какие еще замкнутые множества переводятся в замкнутые множества всеми линейными операторами?
Определение. Линейное многообразие (плоскость)
![$\Pi\subset X=\mathbb{R}^m$ $\Pi\subset X=\mathbb{R}^m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/9/af9a9e5c509040238d898134631ab8c282.png)
называется асимптотическим для множества
![$D\subset X$ $D\subset X$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/2/572653d78816d382f067b4481350d17182.png)
если
1)
![$D\cap \Pi=\emptyset$ $D\cap \Pi=\emptyset$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/80540602b3bdd6850308c4d177593c9982.png)
и
2) существует последовательность
![$\{x_n\}\subset D$ $\{x_n\}\subset D$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/2/2c24476ddae672d02ba5f5e919bea74f82.png)
такая, что
![$|x_n|\to\infty$ $|x_n|\to\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/2/9329b5dd83f6961ad5a98f4d7c5e0efc82.png)
и
![$$\rho(x_n,\Pi)=\inf_{x\in \Pi}|x-x_n|\to 0.$$ $$\rho(x_n,\Pi)=\inf_{x\in \Pi}|x-x_n|\to 0.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/6/93624196ea6889077c5c89223b99452682.png)
Теорема. Предположим, что множество
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
замкнуто и не имеет асимптотических плоскостей.
Тогда для любого оператора
![$A:X\to Y=\mathbb{R}^\ell$ $A:X\to Y=\mathbb{R}^\ell$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/2/662ea1d15636c34c2992c591f50e501282.png)
образ
![$A(D)$ $A(D)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/c/becf9bf2d0e3f4907d5b7d0c74127be682.png)
замкнут.
Обратное, скорее всего, тоже верно.
Вот в какой раздел это пихать? Можно в олимпиадные задачи, а можно в <<педагогику>>. Вопрос только на каком экзамене осчастливить первокурсника такой задачей, на анализе или на линейке?
Но идем дальше. А какие замкнутые конусы не имеют асимптотических плоскостей? Вот, например, попросить первокурсника доказать, что конусы, которые в линейной алгебре проходят не имеют.