Верно ли там соответствующее утверждение про понижение порядка?
Скорее нет, чем да. Наличие интеграла у учп не добавляет больших знаний о решении, не так как в случае оду.
Для интегрируемых учп есть нечто аналогичное, только интегралов там бесконечное число. Емнис почитать можно в книжечке Тахтаджян, Фаддеев.