Вывод суммы бесконечного ряда в пи-адических числах

[B3LYP]

Если я правильно понимаю, пиадические числа можно предствить как $a(b)$, где a и b это натуральные из которых a периодически повторяется. Это справедливо для всех пиадических чисел, или не для всех?
Далее, если не путаю, в пиадических чисел ряд $9+90+90+900+9000...=-1$ по определению: когда мы берём (9)9 и прибавляем (0)1, получаем (0)0. Я правильно написал?
Далее такой вопрос. Возьмём ряд $1+x+x^2+x^3+x^4...$ Можно вывести, что при $x<1$ сумма будет равна $1/(1-x)$. Из этой формулы как бы получаем $1+2+4+8+16+32...=-1$. Т.е. в двоичной системе $(1)1=-1$.
Я пытаюсь разобраться: можно ли по аналогичной формуле вывести, что $(2)2=-1$ в троичной системе, $(3)3=-1$ в четвертичной и так далее? Я что-то совсем не могу вспомнить, как выводится формула $1+x+x^2+x^3+x^4=1/(1-x)$ для $x<1$. Понятно только что если $x=0.5$ – с каждой итерацией становится вдвое меньше расстояние до двух.

[dgwuqtj]

Во-первых, целые $p$-адические числа (про которые вы пишете) могут быть непериодическими. Далее, ряд $\sum_k 9 \cdot 10^k$ - это для 10-адических чисел, то есть в конкретном случае $p = 10$, а вообще $p$ может быть любым натуральным числом (ненулевым).

Чтобы выводить сумму ряда, надо понимать, что такое эта сумма (там сходимость в $p$-адической топологии) и что такое дробь в правой части. Если что, целые $p$-адические числа - это не надмножество рациональных. Тут можно или повникать в обратимость в кольце целых $p$-адических чисел или же перейти к кольцу всех $p$-адических чисел. В любом случае это даже не область целостности, если не ограничиваться случаем простого $p$.

-- 26.06.2024, 12:52 --

А, у вас справа $-1$... Можно просто проверить, что если к левой части прибавить 1, то получится 0. Хотя даже тут надо пользоваться тем, что $p$-адические числа образуют группу по сложению, а не просто моноид, чтобы в них вкладывалось $\mathbb Z$.

[B3LYP]

Я подумал, что моя задача простая. Возьмём адическое число $(9)9=-1$. Имеем:

$9+90+900+9000...=-1$

Умножим на 10/9:

$10+100+1000+10000...=-10/9$

Прибавим 1:

$1+10+100+1000+10000...=-1/9=1/(1-10)$

Таким образом, в адических числах можно вывести формулу:

$1+x+x^2+x^3+x^4...=\frac{1}{1-x}$

А как она выводится в нормальных числах, для x<1?

[dgwuqtj]

B3LYP в сообщении #1644228 писал(а):

А как она выводится в нормальных числах, для x<1?

Так же: $x (1 + x + \ldots) = x + x^2 + \ldots = (1 + x + x^2 + \ldots) - 1$, то есть $1 + x + x^2 + \ldots$ — это корень $y$ уравнения $xy = y - 1$ (с параметром $x$). Кстати, условие $|x| < 1$ тут нигде не используется, ну и что, что сумма ряда не определена. В $p$-адических тоже иногда не определена!

Ещё можно доказать, что $1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \frac 1 2$, ну и кучу других удивительных "равенств".

-- 26.06.2024, 22:15 --

А если посчитать двустороннюю сумму $\ldots + x^{-2} + x^{-1} + 1 + x + x^2 + \ldots$, то получится 0.

[B3LYP]

dgwuqtj в сообщении #1644229 писал(а):

Так же: $x (1 + x + \ldots) = x + x^2 + \ldots = (1 + x + x^2 + \ldots) - 1$, то есть $1 + x + x^2 + \ldots$ — это корень $y$ уравнения $xy = y - 1$ (с параметром $x$). Кстати, условие $|x| < 1$ тут нигде не используется, ну и что, что сумма ряда не определена. В $p$-адических тоже иногда не определена!

А точно такой подход корректный?

dgwuqtj в сообщении #1644229 писал(а):

Ещё можно доказать, что $1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \frac 1 2$, ну и кучу других удивительных "равенств".

А это точно не математический софизм? С этим рядом, переставляя его скобки, можно получить что угодно.
Я всегда исходил из того, что сумма $1-1+1-1...$ это разность двух бесконечностей, которая может быть равна чему угодно.

[Gagarin1968]

(B3LYP)

B3LYP в сообщении #1644246 писал(а):

сумма $1-1+1-1...$ это разность двух бесконечностей, которая может быть равна чему угодно

Нет, не чему угодно. Эта сумма может принимать только 3 значения: $0$, $1$ и $\dfrac {1}{2}$.

B3LYP в сообщении #1644246 писал(а):

А это точно не математический софизм?

Нет, не софизм. Смотрите Ряд Гранди.

[dgwuqtj]

B3LYP в сообщении #1644246 писал(а):

А точно такой подход корректный?

Ну вы же в $p$-адических числах ровно так и рассуждаете. Это всё можно сделать строгим, если добавить условие на $x$ (в $\mathbb R$ и $\mathbb C$ это условие $|x| < 1$, а не $x < 1$). Но для этого надо понимать, что множества $\mathbb Z_p, \mathbb R, \mathbb C$ - это полные нормированные кольца, что в них делимость устроена более-менее разумно (чтобы делить на $1 - x$), ну и что ряд вообще абсолютно сходится и что с абсолютно сходящимися рядами можно проделывать все эти манипуляции.

-- 27.06.2024, 13:02 --

B3LYP в сообщении #1644246 писал(а):

С этим рядом, переставляя его скобки, можно получить что угодно.

Если мы говорим про обобщённую условную сходимость (по Чезаро), то при перестановке членов сумма как раз может измениться или исчезнуть. А вычисления, которые я привёл, как раз работают.

[B3LYP]

Хотелось бы порассуждать, есть ли какая то симметрия, или антисимметрия, между пиадическими числами и нормальными числами. Если мы выведем сумму ряда

$1+x+x^2+x^3+x^4...=1/(1-x)$

В нормальных числах это выражение верно при 0<x<1, и "типа бред" при x>1. Может в пиадических наоборот - "типа бред" при x<1 и нормально при x>1?
Далее, по ссылке я увидел что суммирование по Рамануджану даёт $1-1+1-1+1-1...=1/2$. Я подозреваю что суммирование по Рамануджану равноценно суммированию в пиадических числах, значит в них тоже будет такая сумма ряда?

[dgwuqtj]

B3LYP в сообщении #1644283 писал(а):

Может в пиадических наоборот - "типа бред" при x<1 и нормально при x>1?

Нет, конечно. Будем называть функцию $\|\cdot\| \colon R \to [0, +\infty)$ из некоторого коммутативного кольца $R$ с единицей нормированием, если $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $\|xy\| \leq \|x\|\, \|y\|$, $\|1\| = 1$ и $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$. Нормирование задаёт метрику $d(x, y) = \|x - y\|$, оно называется полным, если метрика полна. Например, $\|x\| = |x|$ в $\mathbb R$ является полным нормированием. Для кольца целых $p$-адических чисел $\mathbb Z_p$ в качестве полного нормирования можно взять $\|x\|_p = p^{-v_p(x)}$, где $v_p(x)$ — количество нулей в конце записи $x$ (и $v_p(0) = +\infty$).

Ряд $1 + x + x^2 + \ldots$ абсолютно сходится в кольце $\mathbb R$ или $\mathbb Z_p$ тогда и только тогда, когда $\|x\| < 1$. Если вас интересует рациональное $x$, то в $\mathbb R$ это условие $-1 < x < 1$, а в $\mathbb Z_p$ — $v_p(x) > 0$ (то есть знаменатель $x$ взаимно прост с $p$, а числитель на него делится). При $x = -1$ абсолютной сходимости никогда не будет. С суммированием по Рамануджану это никак не связано, там же вещественные числа и делимость на $p$ никак не участвует.

[B3LYP]

Прошу объяснить на пальцах, почему мы не можем вывести такую сумму ряда

$1-1+1-1+1-1+1-1...=1+1+1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=3$

Элементов же всё равно бесконечно много.

[dgwuqtj]

А вы напишите определение суммы в левой части.

[vicvolf]

B3LYP в сообщении #1644305 писал(а):

Прошу объяснить на пальцах, почему мы не можем вывести такую сумму ряда

$1-1+1-1+1-1+1-1...=1+1+1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=3$

Элементов же всё равно бесконечно много.

В данном случае не выполняется достаточный признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Поэтому данный ряд расходится. Переставлять члены при суммировании расходящихся рядов нельзя, так как сумма меняется.

[dgwuqtj]

vicvolf в сообщении #1644363 писал(а):

Поэтому данный ряд расходится.

Всё-таки не поэтому, а потому что необходимый признак сходимости не выполняется (члены ряда не стремятся к 0). Признак Лейбница не является необходимым.

[vicvolf]

dgwuqtj в сообщении #1644365 писал(а):

Всё-таки не поэтому, а потому что необходимый признак сходимости не выполняется (члены ряда не стремятся к 0).

Да, необходимый признак сходимости тоже не выполняется.

B3LYP в сообщении #1644305 писал(а):

Прошу объяснить на пальцах, почему мы не можем вывести такую сумму ряда
$1-1+1-1+1-1+1-1...=1+1+1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=3$

Я хотел подчеркнуть, что ряд расходится, поэтому переставлять его члены нельзя. Это простой ответ на вопрос автора темы. К сожалению, в теме это потерялось.

[B3LYP]

Gagarin1968 в сообщении #1644253 писал(а):

Нет, не чему угодно. Эта сумма может принимать только 3 значения: $0$, $1$ и $\dfrac {1}{2}$.

Поясните, как это согласуется с

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика)#Сходимость_и_сумма_ряда

Цитата:

«Ряд Гранди» 1-1+1-1+1-1 расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет[14].