2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по оптимизации
Сообщение24.06.2024, 12:35 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Всем привет! Хочу решить такую задачу:
$$\text{argmin}_{x \in B_{2}(r)} \{ h(x) + c^\top x\}$$
Теперь вопрос. Можно ли утверждать, что если я заменю константу $c$ таким образом $c = \frac{c}{\| c \|_2 } \cdot r$ (то есть сделал вектор единичным и затем умножил на радиус шара, в котором заключена область определения), то решение этой задачи не изменится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по оптимизации
Сообщение24.06.2024, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Изменится. Возьмите для примера простейшую функцию $h(x)=x^\top x=\|x\|^2$, обеспечивающую существование минимума. Тогда при заданном $c$ минимум выражения
$x^\top x+c^\top x=(x^\top\!\!+\frac 1 2 c^\top)(x+\frac 1 2 c)-\frac 1 4 c^\top c=\|x+\frac 1 2c\|^2-\|\frac 1 2 c\|^2$
достигается при $x=-\frac 1 2 c$. Изменение $c$ сразу повлияет на результат.

Тут мы игнорировали ограничение, что $x$ принадлежит шару, но и с ним ответ будет — «в общем случае, изменится».
Советую Вам немного исследовать этот пример (сначала без ограничения $x\in B$, потом с ним). Хоть он и игрушечный, но полезный опыт даст. Даже в одномерном случае.

-- Пн июн 24, 2024 14:51:48 --

Verbery в сообщении #1643849 писал(а):
$c = \frac{c}{\| c \|_2 } \cdot r$
В С++, Java и подобных языках можно написать что-то вроде c=c/norm(c)*r, где знак = означает присваивание. Тут лучше писать «заменю константу $c$ на $\frac{c}{\| c \|}r$ », не приравнивая их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по оптимизации
Сообщение02.07.2024, 14:51 
Аватара пользователя


20/02/12
161
svv
Да, спасибо! Увидел, что в общем случае ответ изменится, т.к. есть Ваш контрпример

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по оптимизации
Сообщение02.07.2024, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Verbery
Вот, знаете, есть такие утверждения, которые кажутся справедливыми, а через 20 лет кто-то находит хитрую ситуацию, когда это утверждение неверно. (Есть целая книга: Геллбаум, Олмстед. Контрпримеры в анализе.)

А это как-то и контрпримером назвать язык не поворачивается. Это — типичная ситуация (общего положения). Так почти всегда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group