2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл Римана в многомерном пространстве
Сообщение24.06.2024, 11:47 


29/10/21
75
https://i.yapx.ru/XnLfk.jpg
a) Может ли существовать интеграл от некоторой функции на ограниченном неизмеримом по Жордану множеству?
b) Интегрируемая ли постоянная функция на ограниченном неизмеримом по Жордану множеству?
c) Верно ли, что если функция интегрируемая на множестве, то она интегрируемая на любом подмножестве множества?
d) Укажите необходимые и достаточные условия на функцию определеную на ограниченном множестве(не обязательно измеримом по Жордану), при которых существует интеграл Римана от функции по данному множеству.
Определение интеграла по множеству $E$: $$\int\limits_{E}^{} f(x)\cdot dx = \int\limits_{I}^{} f \chi_{E}(x) \cdot dx,$$
где $\chi_{E}$ - индикаторная функция множества $E$, а $I$ - $n$-мерный промежуток, который содержит $E$.
Пункт а) - ответ да. Можно взять нулевую функцию.
Пункт b) - ответ нет. Если множество ограничено и не измеримо по Жордану, значит внутренняя мера и внешняя мера Жордана не совпали, значит верхний и нижний интеграл Дарбу не совпадают. А это означает не интегрируемость.
Пункт с) - ответ нет. Можно взять функцию константу на измеримом множестве, и рассмотреть ее ограничение на неизмеримом подмножестве. По пункту b) она будет неинтегрируемой.
Пункт d) - не знаю.
Правило ли я сделал первые три пункта, и какой ответ в пункте d)?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.06.2024, 11:02 
Админ форума


02/02/19
2522
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- пожалуйста, изложите условие задачи непосредственно в посте. Когда ссылка на картинку устареет, никто не сможет понять, о чем речь.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.06.2024, 12:07 
Админ форума


02/02/19
2522
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана в многомерном пространстве
Сообщение26.06.2024, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
В пункте b) я бы сослался на то, что измеримость по Жордану множества эквивалентна интегрируемости единицы. В c) тоже как-то поконкретнее: функция -- тождественная единица на отрезке $[0,1]$, а подмножество -- рациональные точки отрезка. Насчёт d), если сводить к критерию Лебега, то надо потребовать, чтобы множество точек разрыва $f$ на $\overline{E}$ имело лебегову меру нуль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group