Deathrose, спасибо за пример. Можно пару вопросов тогда.
1. Я так понимаю, что мы данную функцию доопределяем
?
2. Как вообще, в принципе, исследовать не заданную явно функцию на непрерывность? Обратную же явно не выразить отсюда. Признаюсь, имею опыт только с явным функциями, где можно составить предел приращения функции...
Да, все примеры в теме доопределены нулем в нуле. Поэтому условия теоремы, написанного в исходном посте, все же важны. При этом, если функция непрерывна в окрестности точки, то и ее обратная непрерывна в окрестности, поэтому в таком случае требование непрерывности обратной в исследуемой точке можно убрать.
Свойства неявно заданных функций исследуются, собственно, теоремой о неявной функции - если в условии
, из которого вы исследуете неявно заданную функцию
, функция двух переменных
гладкая и производная по
(
- точка координатной плоскости, в окрестности которой мы работаем), то будет существовать функция
, причем с тем же порядком гладкости, что и F. Сказать про обратимость при этом можно то, что поскольку наша неявно заданная функция гладка, то она имеет промежутки монотонности, если только ее производная
не равна нулю. Тогда обратимость будет. Условие гладкости
(как функции двух переменных) нельзя понизить до условия просто дифференцируемости в точке или непрерывности в окрестности из-за возможной немонотонности
и известных примеров непрерывных нигде не дифференцируемых функций. В этом случае неявной функции в принципе не будет существовать.