Сходимость одного числового ряда

[Ascold]

Есть ряд с членом

$$a_n=\frac{\sin^4n-\frac{3}{8}}{\sqrt{n+1}},$$

нужно определить наличие/отсутствие условной и абсолютной сходимостей.
Признак Лейбница прямо не применим, однако знакочередование в числителе всё же есть, хоть и не строго "плюс-минус-плюс-минус", поэтому условная сходимость, вроде как, ожидается, хотя хотелось бы её-таки установить научно. А вот что касается сходимости абсолютной, то пробовал признаки Коши, Даламбера, Раабе - ничего не идёт из-за синуса. Такое ощущение, что нужно догадаться до сравнения с удобным рядом, но вот с каким?

[dgwuqtj]

Я бы применял суммирование по частям ("дискретное преобразование Абеля"), ну или просто признак Дирихле, если сработает.

[thething]

Ascold
$\frac{3}{8}$ откровенно намекают на формулы понижения степени. А потом признак Дирихле. Чтобы показать отсутствие абсолютной сходимости, используйте метод введения дополнительного угла и стандартную технику замены модуля тригонометрической функции квадратом.

[мат-ламер]

ТС, наверное, задачу давно решил. Поэтому поинтересуюсь спросить:

thething в сообщении #1642775 писал(а):

Чтобы показать отсутствие абсолютной сходимости, используйте метод введения дополнительного угла и стандартную технику замены модуля тригонометрической функции квадратом.

Можно чуть-чуть расшифровать этот момент? Можно, конечно, задать некий небольшой уровень. И убедиться, что члены ниже этого уровня будут располагаться достаточно редко. Но тут всё же надо немного повозиться. Можно ли проще решить?

[thething]

мат-ламер в сообщении #1642979 писал(а):

Можно чуть-чуть расшифровать этот момент?

Тут, конечно, я прикидывал на коленке, и, предлагая метод дополнительного угла, совершенно не учёл, что там под косинусами разные кратности углов. Мне видится такое рассуждение:

$$|\cos(4n)-4\cos(2n)|=5\cdot\frac{|\cos(4n)-4\cos(2n)|}{5}\ge\frac{(\cos(4n)-4\cos(2n))^2}{5}=$$

$$=\frac{\cos^2(4n)}{5}+\frac{16\cos^2(2n)}{5}-\frac{8\cos(2n)\cos(4n)}{5}.$$