2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Алгебра Ли векторных полей с неподвижной точкой
Сообщение14.06.2024, 09:15 
Допустим в $\mathbb R^n$ в окрестности нуля заданы $n$ векторных полей, которые образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования. Для простоты, рассмотрим в $\mathbb R^3$. В моей задаче можно считать, что эти поля имеют вид
$$
X=\frac{\partial}{\partial x}+X_1,\;\\
Y=\frac{\partial}{\partial y}+Y_1,\;\\
Z=\frac{\partial}{\partial z}+Z_1, 
$$ где векторные поля $X_1, Y_1, Z_1$ обращаются в нуль в начале координат. Вопрос состоит в том, чтобы найти поля $X_2, Y_2, Z_2$, которые равны нулю в начале координат, и которые образуют алгебру Ли, изоморфную исходной, в идеале -- имеют те же структурные константы. Мне кажется, что их надо искать в виде
$$
X_2=x\frac{\partial}{\partial x}+X_3,\;\\
Y_2=y\frac{\partial}{\partial y}+Y_3,\;\\
Z_2=z\frac{\partial}{\partial z}+Z_3, 
$$ где поля $X_3, Y_3, Z_3$ имеют нуль второго порядка в начале координат (по аналогии с тривиальным случаем $X=\frac{\partial}{\partial x}, Y=\frac{\partial}{\partial y}, Z=\frac{\partial}{\partial z}$).
По гладкости все можно считать вещественно-аналитическим (на самом деле можно рассматривать вопрос в формальных степенных рядах).
Может кто-то сталкивался с такой же или похожей задачей. По сути я хочу произвольную группу Ли преобразований превратить в изоморфную ей группу преобразований с неподвижной точкой.

-- Пт июн 14, 2024 11:37:38 --

Padawan в сообщении #1642601 писал(а):
Мне кажется, что их надо искать в виде
$$
X_2=x\frac{\partial}{\partial x}+X_3,\;\\
Y_2=y\frac{\partial}{\partial y}+Y_3,\;\\
Z_2=z\frac{\partial}{\partial z}+Z_3, 
$$ где поля $X_3, Y_3, Z_3$ имеют нуль второго порядка в начале координат

Стоп, вроде бы получается, что такие поля только тривиальную (т.е. абелеву) алгебру могут образовать.

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group