Четырех-вектор или нет?

[Divergence]

Пусть $x^{\mu}(\tau)$ - 4-радиус-вектор материальной точки, $\tau$ - собственное время, $u^{\mu}(\tau)$ - четырех-вектор скорости материальной точки, определяется как
$u^{\mu}(\tau) \, := \, \frac{d x^{\mu}(\tau)}{d\tau} $
где $u_{\mu} \, u^{\mu} \, = \, - \, c^2$. (Релятивистская механика (Например, Утияма Р. Теория относительности. Атомиздат 1979) стр 86, 87.)

1) Поскольку $x^{\mu}(\tau)$ и $u^{\mu}(\tau)$ - четырех-вектора, то преобразование Лоренца

$$ x^{\mu,\prime} \, = \, \Lambda^{\mu}_{\mu} \, x^{\nu}(\tau) . $$

Вопрос: Здесь $x^{\mu,\prime}= x^{\mu,\prime}(\tau)$ или $x^{\mu,\prime}= x^{\mu,\prime}(\tau^{\prime})$ ?
По-моему здесь $x^{\mu,\prime}(\tau)$.

2) Из преобразования Лоренца для $x^{\nu}(\tau)$ получаем

$$ u^{\mu,\prime} \, = \, \Lambda^{\mu}_{\mu} \, u^{\nu}(\tau) . $$

Это верно?
Вопрос: Здесь $u^{\mu,\prime}= u^{\mu,\prime}(\tau)$ или $u^{\mu,\prime}= u^{\mu,\prime}(\tau^{\prime})$ ?
По-моему здесь $u^{\mu,\prime}(\tau)$.

3) Определим

$$ B^{\mu}(s) \, := \, \int^{s}_{0} A(s-\tau) \, u^{\mu}(\tau) d\tau $$

где $A(s-\tau)$ непрерывная функция.
Пример (Частный случай) $A=1$. Тогда из определения 4-вектора скорости $B^{\mu}(s) \, := \, x^{\nu}(s) \, - \, x^{\nu}(0)$.

Вопрос: Является ли величина $B^{\mu}(s)$ четырех-вектор, то есть

$$ B^{\mu \prime}(s) \, = \, \Lambda^{\mu}_{\mu} \, B^{\mu}(s) . $$

По-моему является четырех-вектором, поскольку $\Lambda^{\mu}_{\mu}$ не зависит от $\tau$.

[lazarius]

Divergence,

Собственное время - инвариант преобразования Лоренца и в тензорном смысле скаляр. То есть

$\displaystyle \tau\prime = \tau$

Соответственно, без разницы что писать в ваших скобках. У вас неправильные индексы в преобразовании. Правильно вот так:

$\displaystyle x^{\mu\prime} \, = \, \Lambda^{\mu\prime}_{\nu} \, x^{\nu}$

Ваш $B^{\mu}(s)$ действительно 4-вектор и вы правильно указали причину. Пространство Минковского плоское и во всем пространстве включая мировую линию, по которой вы интегрируете, работает одно преобразование Лоренца. В вашем примере (частном случае) у него даже есть какой-то физический смысл.

[Divergence]

lazarius
Спасибо за ответ. Зная, что собственное время - инвариант, я почему-то не использовал.