Производящая функция гипергеометрического распределения

[moonruleni9ne]

Гипергеометрическое распределение задаётся законом:

$$P(x)= \frac{\binom{M}{x} \binom{\theta - M}{n - x}}{\binom{\theta}{n}}, \theta, M, n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, M\leq\theta, n\leq\theta, x\in\{\max(0, M+n- \theta), \min(M, n)\}$$

Производящая функция для гипергеометрического распределения имеет вид:

$$G(z) = {}_2F_{1}[-n,-M,-\theta,1-z] = 1 + \frac{nM}{-\theta}\frac{(1-z)}{1!}+\frac{n(-n+1)M(-M+1)}{-\theta(-\theta+1)}\frac{(1-z)^{2}}{2!}+\ldots$$

Практически во всех источниках она представлена как выше представленная гипергеометрическая функция и соответствующий ей ряд, однако мне не удалось нигде найти доказательство этой формулы и как она получается, исходя из определения производящей функции: $G(z) = Mz^{\xi}$, где случайная величина $\xi$ имеет гипергеометрическое распределение.
Можно ли каким-то образом её получить по определению?

[Gorkovchanin]

1) Посмотрите в книге: Джонсон Н.Л., Коц С., Кемп А. Одномерные дискретные распределения. М.: БИНОМ, 2012 г. на странице 251-252. Вы увидите немного другую форму записи производящей функции. Отличие от вашей - разложение по стеменям z, а не (1-z). Так что я бы усомнился над Вашим утверждением про "Практически во всех источниках".
2) Почему разложение всё-таки в окрестности (1-z)? Это наводит на мысль о разложении производящей функции через целочисленные моменты (факториальные). Что-то вроде
$G(z)=\mathbb E z^\xi=\mathbb E(1+(z-1))^\xi = \sum_{n=1}^\infty \frac{G^{(n)}(1)}{n!}(z-1)^n$, а как известно, $G^{(n)}(1)=\mathbb E (\xi(\xi-1)\cdots(\xi-n+1))$
Значит, всё сводится к вычислению факториальных моментов и подстановке в ряд Тейлора. Дальше сравнение коэффициентов с таблицей гипергеометрических функций. (Ну, или ознакомление с обозначением таковых - см. Фихтенгольц или Грехэм-Кнут-Поташник).