2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Знак дифференциала, как формальное обозначение
Сообщение05.06.2024, 15:39 


03/01/24
7
Доброго времени суток!
Изучая матанализ, можно заметить, что по всюду встречаются значки интеграла и дифференциала, хотя по смыслу они могут обозначать нечто другое.
К примеру, в обычном интеграле мы пишем dx или в криволинейных пишем dl подразумевая длину дуги.
Примеров много.
Обычно повествование строится следующим образом:
Вводится обозначение + определение =>Получаются свойства => объект ведет себя похожим образом, как дифференциал => обозначение оправдано.
Но есть слишком много похожих совпадений . В практике часто мы можем не различать дифференциал от формального обозначения ( к примеру $\int {df'(x)}$; $dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ ; перенос диф формы} и доходить до верного ответа.
Еще пример, в формуле замены переменных в кратном интеграле мы пользуемся якобианом, что есть почти матрица дифференциала.
Теперь вопрос.
Есть ли уровень абстракции, отвечающий на вопрос, почему эти вещи так похожи?
Возможно теория, которая строит интеграл через дифференциал и тп?
Я предполагаю, что на этот вопрос может отвечать теорКат, но хотелось бы получить более приземленный ответ.
Я искал ответы на вопрос на форуме, но не нашел. Буду благодарен, если скинете ссылку на существующее обсуждение по похожей теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знак дифференциала, как формальное обозначение
Сообщение05.06.2024, 16:16 
Заслуженный участник


07/08/23
1045
Есть интегрирование дифференциальных форм и интегрирование плотностей на гладких многообразиях. Про них написано в книжках по абстрактной дифференциальной геометрии, которая не про кривые и поверхности, а именно про многообразия. Если коротко, то дифференциальные формы (типа дифференциалов функций) и плотности (типа $dl$) - это геометрические объекты, сечения некоторых векторных расслоений, для которых вдобавок есть хорошая операция интегрирования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group