Знак дифференциала, как формальное обозначение

[Mikhail_2000]

Доброго времени суток!
Изучая матанализ, можно заметить, что по всюду встречаются значки интеграла и дифференциала, хотя по смыслу они могут обозначать нечто другое.
К примеру, в обычном интеграле мы пишем dx или в криволинейных пишем dl подразумевая длину дуги.
Примеров много.
Обычно повествование строится следующим образом:
Вводится обозначение + определение =>Получаются свойства => объект ведет себя похожим образом, как дифференциал => обозначение оправдано.
Но есть слишком много похожих совпадений . В практике часто мы можем не различать дифференциал от формального обозначения ( к примеру $\int {df'(x)}$; $dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ ; перенос диф формы} и доходить до верного ответа.
Еще пример, в формуле замены переменных в кратном интеграле мы пользуемся якобианом, что есть почти матрица дифференциала.
Теперь вопрос.
Есть ли уровень абстракции, отвечающий на вопрос, почему эти вещи так похожи?
Возможно теория, которая строит интеграл через дифференциал и тп?
Я предполагаю, что на этот вопрос может отвечать теорКат, но хотелось бы получить более приземленный ответ.
Я искал ответы на вопрос на форуме, но не нашел. Буду благодарен, если скинете ссылку на существующее обсуждение по похожей теме.

[dgwuqtj]

Есть интегрирование дифференциальных форм и интегрирование плотностей на гладких многообразиях. Про них написано в книжках по абстрактной дифференциальной геометрии, которая не про кривые и поверхности, а именно про многообразия. Если коротко, то дифференциальные формы (типа дифференциалов функций) и плотности (типа $dl$) - это геометрические объекты, сечения некоторых векторных расслоений, для которых вдобавок есть хорошая операция интегрирования.