Коммутант и абелизация

[Maxim19]

Здравствуйте, встретил задачу:
" Вычислить абелизацию группы $\mathbf{G}$=$\mathbb{Z}$$\mathfrak{/}$2*$\mathbb{Z}$$\mathfrak{/}$2 и найти ядро эпиоморфизма из группы в свою абелизацию"
У меня возникла проблема с нахождением коммутанта этой группы. Он как-то сложно устроен. Если его для решения задачи всё же нужно найти, то можете с этим помочь? Или же можно найти абелизацию с ядром как-то по другому?

-- 26.05.2024, 23:23 --

Я пробовал в явном виде найти коммутант, рассмотрел 4 случая, связанные с принадлежностью разным или одной группам начала и конца двух слов, которые составляют коммутант, но это особо погоды не сделало

[dgwuqtj]

Если что, коммутант — это подгруппа, порождённая всеми коммутаторами элементов. Вы хоть какие-то коммутаторы посчитали? Тут это довольно просто. В общем случае есть такое соображение: для любого множества образующих $X \subseteq G$ коммутант как нормальная подгруппа (не как просто подгруппа) порождается элементами вида $[x, y]$ при $x, y \in X$.

[Maxim19]

dgwuqtj
Ну так хотелось бы понять, как устроена сама подгруппа из коммутаторов. По отдельным примерам коммутаторов не очень понятно

[dgwuqtj]

У вас группа из 4 элементов. Даже если ничего не знать и не оптимизировать, можно посчитать все 16 коммутаторов. В группах из 4 элементов подгрупп мало, так что можно потом проверить, какую именно эти коммутаторы порождают. Опять же, просто перемножая коммутаторы и деля их друг на друга, пока не получится подгруппа.

[Maxim19]

dgwuqtj
Нет, в группе бесконечно много элементов. Это же конкатинация

-- 27.05.2024, 23:44 --

В данном случае элементами группы являются конечные слова с чередующимися нулями и единицами из разных групп вычетов по модулю 2

[dgwuqtj]

А, это $\mathbb Z / 2 \mathbb Z * \mathbb Z / 2 \mathbb Z$... Тогда есть такое замечательное соображение. Если группа $G$ задаётся представлением $\langle X \mid R \rangle$, то её абелианизация задаётся тем же представлением как абелева группа, ну и гомоморфизм из $G$ в абелианизацию канонический. Так что можно сначала посчитать абелианизацию, а потом коммутант как ядро. Оно наверняка конечно порождено чем-то хорошим.