2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычёркивание цифры
Сообщение24.05.2024, 17:19 
Заслуженный участник


03/12/07
372
Україна
$$\frac{\overline{a_1a_2...a_n}}{\overline{a_1a_2...a_{k-1}a_{k+1}...a_n}}\in \mathbb N, a_n>0, 1<k<n\Rightarrow k=2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычёркивание цифры
Сообщение26.05.2024, 09:05 


26/08/11
2100
Разделим число в числителе на 3 части:

$x=\overline{a_1a_2\ldots a_{k-1}}$ ($k-1$ значное число).

$a=a_k$ - цифру, которую убираем

$y=\overline{a_{k+1}a_{k+2}\ldots a_n}$ - последние цифры - $n-k$ значное число.

Получается

$\dfrac{x\cdot 10^{n-k+1}+a\cdot 10^{n-k}+y}{x\cdot 10^{n-k}+y}=c,\;\; c \in \mathbb{N}$

Требуется доказать $k=2$, или что тоже самое, $x$ - однозначное число.

$y=10^{n-k} \cdot \dfrac{a - (c - 10) x}{c-1}$

Так как $y$ не делится на $10$ (по условию $a_n\ne 0$) то $c-1$ делится либо на $2^{n-k}$, либо на $5^{n-k}$

Тут нужно рассмотреть оба случая $c>10$ и $c<10$, но в любом случае $x<10$

Еще понятно что $c<19$. Интересно найти наибольшее такое число (с наибольшим $n-k$) Будет при $c-1=16$ и $n-k=4$

$y=5^4(a-7x)$ Конечно $x=1,a=8,y=625$ но четырехзначное, значит $0625$

$\dfrac{180625}{10625}=17$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычёркивание цифры
Сообщение26.05.2024, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
Напомнило "салонный фокус" с умножением на $11$: $$11=\frac {473} {43}=\frac {297} {27}=\frac {781} {71}=\ldots$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычёркивание цифры
Сообщение27.05.2024, 00:22 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Пусть $b$ - основание позиционной системы счисления, и хочу по-другому индексировать $a$: чтобы $a_m$ стояло при $b^m$. Пусть наше число это $\overline{La_mR}$, тогда имеем $$(bL+a_m)b^m+R=(b+s)(Lb^m+R)$$или$$(b+s-1)R=(a_m-sL)b^m$$Неположительные $s$ не подходят по условию, что самый младший разряд - не ноль (и что мы не вычеркиваем его), а при положительных $s$ выражение $a_m-sL$ может оказаться положительным, только если $L$ - цифра.

-- 27.05.2024, 01:19 --

Ммм и тут я осознал, что это рассуждение подходит только для простых $b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычёркивание цифры
Сообщение27.05.2024, 02:03 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
waxtep в сообщении #1640395 писал(а):
$$(b+s-1)R=(a_m-sL)b^m$$Неположительные $s$ не подходят по условию, что самый младший разряд - не ноль (и что мы не вычеркиваем его), а при положительных $s$ выражение $a_m-sL$ может оказаться положительным, только если $L$ - цифра.

-- 27.05.2024, 01:19 --

Ммм и тут я осознал, что это рассуждение подходит только для простых $b$
Рассмотрим оставшийся случай составных $b$, когда $s$ имеет право быть неположительным (когда $b+s-1$ делится на какой-то из собственных делителей $b$ в степени $m$). В нем $$(b+s-1)R\leqslant(b-1)(b^m-1)<b^{m+1}$$Теперь, если $L$ - не цифра, то $(a_m-sL)b^m\geqslant{b^{m+1}}$ (нулем ведь $s$ быть не может, т.к. $b-1$ взаимно просто с $b$). Значит, в исходном уравнении, левая часть с правой не сойдутся при $s<0$

-- 27.05.2024, 03:02 --

Shadow в сообщении #1640295 писал(а):
Еще понятно что $c<19$. Интересно найти наибольшее такое число (с наибольшим $n-k$) Будет при $c-1=16$ и $n-k=4$

$y=5^4(a-7x)$ Конечно $x=1,a=8,y=625$ но четырехзначное, значит $0625$

$\dfrac{180625}{10625}=17$
И в комплект наименьшее $6=\dfrac{108}{18}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group