Равные биномиальные коэффициенты

[Edward_Tur]

Решить в натуральных числах

$$C_{n-1}^{m+1}=C_{n+1}^{m-1}$$

[waxtep]

Здесь подходит только $m=1,n=3$, а при $n>m+2$ получается зажать между квадратами $2(n-m)(n-m+1)$ и $2mn+m+n$

[waxtep]

Нет, я погорячился. Исходное уравнение

$$(n-m+2)(n-m+1)(n-m)(n-m-1)=(m+1)m(n+1)n$$

действительно можно записать в виде

$$\{2(n-m+1)(n-m)\}^2=\{2mn+m+n\}^2+7(n-m)^2+8(n-m)$$

но зажатия между квадратами соседних натуральных не выходит

[waxtep]

Ну да, все правильно, только чуть длиннее; посмотрим на $d=2(n-m+1)(n-m)-2mn-m-n$:
- при $d>2$ решений нет, срабатывает зажатие между квадратами;
- при $d=2$ есть единственное решение с $n-m\leqslant2$, а именно $m=1,n=3$;
- при $d=1$ имеем систему уравнений вида

$$\begin{cases}2(n-m+1)(n-m)=2mn+m+n+1\\ 2(n-m+1)(n-m)+2mn+m+n=7(n-m)^2+8(n-m)\end{cases}$$

или

$$\begin{cases}7(n-m)^2=4mn-6n+10m+1\\2(n-m)^2=2mn-n+3m+1\end{cases}$$

из которой следует

$$6mn=-5n-m-5$$

, не имеющее решений в натуральных числах

[maxal]

Вспоминается гипотеза Сингмастера.