неравенства с sign(f(x))

[LILILILILI]

Здравствуйте!
Недавно узнал о способе нахождения производных от функций с модулем через использование функции sign и у меня возникли вопросы (возможно, очень глупые).
Пусть дана функция, у которой нужно узнать промежутки возрастания: $$

$$f(x) = \vert {x^2 - x^3}\vert$$

Как правильно (если это вообще возможно) воспринимать и работать с неравенствами вида $$

$$(2x-3x^2) \cdot sign(x^2-x^3) > 0$$

Или обязательно расскрывать функцию как $$

$$f(x) = \vert {x^2 - x^3}\vert = \sqrt{(x^2-x^3)^2}$$

А затем решать неравенство$$

$$ \frac{d \sqrt{(x^2-x^3)^2}} {dx} > 0$$

Кроме того, если производная через sign и через корень из квадрата равноценны, нужно ли для sign вводить ограничения, которые вводятся для производной корня? Будут ли лишние корни если не ввести эти ограничения?

[dgwuqtj]

С такими неравенствами обычно просто рассматривают отдельно случаи $x^2 - x^3 > 0$ и $x^2 - x^3 < 0$. Использование корня по идее только всё усложняет. Ну и при $x^2 = x^3$ модуль не дифференцируем, даже если вы как-то определили сигнум.

[bot]

dgwuqtj в сообщении #1639594 писал(а):

Ну и при $x^2 = x^3$ модуль не дифференцируем

Не дифференцируем при $x=1$, но дифференцируем в нуле.

[LILILILILI]

Правильно ли я понимаю, что работать с sign нужно примерно так же, как и с модулем, то есть составлять систему при различных случаях значения выражения $$

$$sign(x^2-x^3)$$

И получать систему неравенств, в которой учитываются знаки sign и недифференцируемые точки $$

$$-(2x-3x^2)>0, \hspace{5mm} \text{при} \hspace{3mm} x^2-x^3<0$$

$$

$$2x-3x^2>0, \hspace{5mm} \text{при} \hspace{3mm} x^2-x^3>0 \hspace{2mm} \text{и} \hspace{2mm} x \ne1$$

И получать систему решений, зависящих от раскрытия выражения под sign?

[dgwuqtj]

LILILILILI в сообщении #1639603 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что работать с sign нужно примерно так же, как и с модулем

Ну да, хотя бы потому что $\mathrm{sign}\, x = \frac x{|x|}$ при $x \neq 0$. Иногда удаётся не разбирать все случаи, а использовать какие-то другие соображения, но это от задачи зависит.

[LILILILILI]

Понял, благодарю за помощь!