Решить уравнения

[Edward_Tur]

Решить в действительных числах:
а) $2^x=x^2-x+2.$
б) $x\cdot2^x=5x^2-9x+6.$
в) $14^x+10^x+1=15^x+7^x+3^x.$
г) $x^2\cdot2^x+3^x=5^x.$

[worm2]

а) У третьей производной функции $f(x)=2^x-(x^2-x+2)$ нет корней, значит, у второй производной — максимум один корень, у первой — не более двух, а у самой $f(x)$ — не более трёх. Они легко находятся: {1, 2, 3}.

[Andrey A]

worm2 в сообщении #1638575 писал(а):

Они легко находятся: {1, 2, 3}.

б) $\{1, 2, 3\}$
в) $\{0, 1, 3\}$
г) $\{0, 1, 2\}$
Хотя корни в третьих производных тут имеются (необходимым условием оно и не было). Интересно. Те же тройки корней имеют кубические уравнения

$x^3-6x^2+11x=6$
$x^3-4x^2+3x=0$
$x^3-3x^2+2x=0$

Несколько удивительно. Теорему Виетта для показательных уравнений еще не придумали?

[Edward_Tur]

б) У третьей производной функции $f(x)=2^x-(5x-9+\frac6z)$ нет корней. Ответ: {1, 2, 3}.

[Edward_Tur]

в) $14^x+10^x+1=15^x+7^x+3^x.$
Предположим, что функция $15^x+7^x+3^x-14^x-10^x-1$ имеет не менее 4 действительных корней. Тогда её производная

$\ln15\cdot15^x+\ln7\cdot7^x+\ln3\cdot3^x-\ln14\cdot14^x-\ln10\cdot10^x$ имеет не менее 3 корней.
Не менее 3 корней и у функции
$\ln15\cdot(\frac{15}{14})^x+\ln7\cdot(\frac{7}{14})^x+\ln3\cdot(\frac3{14})^x-\ln14-\ln10\cdot(\frac{10}{14})^x$. Тогда её производная

$\ln15\cdot\ln(\frac{15}{14})\cdot(\frac{15}{14})^x+\ln7\cdot\ln(\frac{7}{14})\cdot(\frac{7}{14})^x+\ln3\cdot\ln(\frac3{14})\cdot(\frac3{14})^x-\ln10\cdot\ln(\frac{10}{14})\cdot(\frac{10}{14})^x$ имеет не менее 2 корней.
Не менее 2 корней и у функции
$\ln15\cdot\ln(\frac{15}{14})\cdot(\frac{15}{10})^x+\ln7\cdot\ln(\frac{7}{14})\cdot(\frac{7}{10})^x+\ln3\cdot\ln(\frac3{14})\cdot(\frac3{10})^x-\ln10\cdot\ln(\frac{10}{14})$. Тогда её производная

$\ln15\cdot\ln(\frac{15}{14})\cdot\ln(\frac{15}{10})\cdot(\frac{15}{10})^x+\ln7\cdot\ln(\frac{7}{14})\cdot\ln(\frac{7}{10})\cdot(\frac{7}{10})^x+\ln3\cdot\ln(\frac3{14})\cdot\ln(\frac3{10})\cdot(\frac3{10})^x$ имеет не менее 1 корня.
Но последняя функция не имеет корней.