Вероятность, что цифры будут стоять хорошо

[artempalkin]

Представим, что я записываю в ряд $n$ десятичных цифр. Какова вероятность того, что можно между ними поставить знаки $+$ и $=$ так, чтобы было верное равенство?

То есть, например, $123$:$1+2=3$
Или:$15318$: $15+3=18$

Не думаю, что возможно обозримо решить эту задачу аналитически... можно смоделировать ради интереса, наверное, и посмотреть, как вероятность будет зависеть от $n$.

[sergey zhukov]

artempalkin
Напоминает эту задачку. Там, правда, ответа на вопрос нет, но напомнило все равно.

[wrest]

artempalkin в сообщении #1637849 писал(а):

Представим, что я записываю в ряд $n$ десятичных цифр. Какова вероятность того, что можно между ними поставить знаки $+$ и $=$ так, чтобы было верное равенство?

Если последовательность знаков именно сначала плюс а потом равно (т.е. 1+2=3 можно а 3=1+2 нельзя), и должны быть оба знака (т.е. 1=01 нельзя), то для $n=3$ вероятность $p(3)=0,055$
Соответственно, если порядок следования знаков не важен, то вероятность $p(3)=0,1$ (повторы 1=0+1 и 1+0=1 считаем однократно).

Дальше надо определяться с правилами, например 1122:1+1=2=2 или 1322: 1+3=2+2 подходят?

[Geen]

artempalkin в сообщении #1637849 писал(а):

поставить знаки $+$ и $=$ так, чтобы было

А сколько знаков равенства можно ставить?

[mihaild]

В варианте "один плюс слева от равенства", видимо, надо начинать с числа подсчета троек $(x, y, z)$ с длинами $a, b, c$ таких что $x + y = z$ и $a + b = c$. понятно что должно быть $\max(a, b) \leq c \leq \max(a, b) + 1$, и там дальше выписываются формулы для разных случаев, но такая гадость получается...

На рукомахательном уровне - для каждого положения знака равенства, оставляющего справа $k \geq n / 3$ цифр, есть одно-два положение плюса, обеспечивающее совпадение порядков, а вероятность совпадения чисел при условии совпадения порядков примерно $10^{-k}$. Отсюда асимптотика вероятности $10^{-n / 3} \cdot \Theta(1)$.

[мат-ламер]

artempalkin
Мне кажется ваша задача довольно искусственной. Хотя на вкус и цвет товарищей нет. Вот пример более содержательной задачи. Допустим $n$ случайных цифр записаны в ряд и они образуют число $m$ . Какова вероятность, что оба числа $m+1$ и $n-1$ будут простыми? Но эта сложная задача, связанная с распределением простых чисел-близнецов. Тут много пока на уровне гипотез. Хотя движуха постоянно идёт.

[mihaild]

мат-ламер, а как $n$ распределено?

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1637906 писал(а):

мат-ламер, а как $n$ распределено?

А $n$ - неслучайная заранее известная величина. Ответ предполагается как функция от $n$ .

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1637908 писал(а):

А $n$ - неслучайная заранее известная величина

Тогда что такое "вероятность того что $n - 1$ будет простым"?

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1637912 писал(а):

огда что такое "вероятность того что $n - 1$ будет простым"?

Опечатка. Исправленный вопрос:

мат-ламер в сообщении #1637904 писал(а):

Какова вероятность, что оба числа $m+1$ и $m-1$ будут простыми?

[mihaild]

Т.е. просто число близнецов в диапазоне $[10^{n - 1}, 10^n)$?

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1637914 писал(а):

Т.е. просто число близнецов в диапазоне $[10^{n - 1}, 10^n)$?

Можно считать, что начальные цифры могут быть и нулями. Тогда диапазон просто от нуля.

мат-ламер в сообщении #1637904 писал(а):

Но эта сложная задача, связанная с распределением простых чисел-близнецов.

Да, просто количество близнецов. Википедия ссылается на гипотезу Харди-Литтлвуда.