Вы имели в виду телескопические ряды. Если написать начало вашего ряда, то видно в чём дело

В частных суммах скобки можно раскрывать и серединка ряда сократится, что и было показано вами более строго.
Можно даже порассуждать, когда телескопирование происходит в самом простом случае.
Если суммируются дроби вида

И желательно, чтобы

или

. В вашем случае

.
Но может быть могут быть и более интересные случаи

.