Задание скользящего вектора

[svv]

wrest в сообщении #1637159 писал(а):

Степеней свободы пять , но там просто в определении не написано, что делать, если вектор неудачно окажется параллелен одной из координатных плоскостей.

Я думаю, автора некоторое время мучила совесть, что он не сделал оговорку. А не сделал он её потому, что получалось ужасно:
... причем из трех координат точки, лежащей на линии действия вектора, одну координату можно задать произвольно, однако не во всех случаях можно произвольно выбрать координату, значение которой задаётся произвольно.

[Andrey from Mos]

Автор не захотел расписать эту тему подробнее и очень сжато упомянул об этом способе задания)) Позволю себе предложить мое понимание этой темы. А вас прошу согласиться или не согласиться с этим пониманием.

Значит, во-первых, здесь есть два понятия - "независимые координаты" и "произвольная координата". Наверное, сначала стоит их уточнить. Независимыми координатами считаем те, которые независят друг от друга, но зависят от нашего желания разместить вектор в пространстве. И от них же мы отталкиваемся для задания уравнения связи с зависимой координатой. Их мы задаем с учётом вот этого нашего желания. Задали, допустим, x и y. Ну с иксом понятно - координата постоянная. С игреком чуть сложнее.
При перемещении точки по наклонной прямой (в описанном мною ранее случае) координаты y и z будут связаны. Значит, мы решаем, какая из этих координат будет независимой. Пусть это будет y. То есть, мы задали ее значение, а далее подбираем такое уравнение зависимости z от y, чтобы получилась нужная нам прямая. Нашли эту связь. Ясно, что z может принимать самые разные (произвольные) значения (ограничений же нет) и им будут соответствовать определенные значения y и, что одна из этих двух величин зависимая. Раз игрэк была принята независимой, то получается, что зависимая - z. Конечно, можно сказать и наоборот: игрэк принимает произвольные значения, но тогда зэт должна изначально считаться независимой. И будет всё наоборот.
Короче, две координаты связаны уравнением. Если одна назначается зависимой, то вторая - независимой. Независимая изначально используется для определения уравнения связи для зависимой. А зато зависимой приписывается возможность принимать произвольные значения (она как бы роль параметра играет).

[EUgeneUS]

Andrey from Mos в сообщении #1637193 писал(а):

Значит, во-первых, здесь есть два понятия - "независимые координаты" и "произвольная координата". Наверное, сначала стоит их уточнить.

Эка, Вы нагородили. Не сказать, что неверно, и если для Вашего личного понимания это полезно, то и хорошо.
Но для учебника или объяснения другим это не пойдет.

1. Вектор не коллинеарен ни одной координатной плоскости. В этом случае, мы можем выбрать любую пару координат для задания точки на прямой. Третья может быть рассчитана.

2. Вектор коллинеарен одной из координатной плоскости, но не координатной оси. В этом случае, мы обязаны выбрать для задания точки на прямой одну координату, ось которой перпендикулярна координатной плоскости, которой коллинеарен вектор. Еще одна может быть выбрана произвольно из двух оставшихся. Третья может быть рассчитана.

3. Вектор коллинеарен одной из координатной оси. В этом случае, мы обязаны выбрать для задания прямой две координаты, оси которых перпендикулярны координатной оси, которой коллинеарен вектор. Третья не рассчитывается, а может быть любой. Но это неважно, так как прямая всё равно задаётся однозначно.

Всё это не определение скользящего вектора. А следствия:
а) собственно определения скользящего вектора
б) способов задания прямой в трехмерной декартовой системе координат.

А собственно с определением скользящего вектора всё хорошо. Только не надо путать $\exists$ и $\forall$.

[wrest]

svv в сообщении #1637192 писал(а):

не сделал он её потому, что получалось ужасно:

Ну мог бы хотя бы вставить что-то вроде "не теряя общности, положим $z_0=0$" и тогда было бы ясно, что автор в курсе проблемы и читателю надо самостоятельно перебрать варианты.

[Andrey from Mos]

to EUgeneUS: спасибо за развернутое объяснение) У вас, конечно, более лаконично и по-делу

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1637198 писал(а):

Ну мог бы хотя бы вставить что-то вроде "не теряя общности, положим $z_0=0$" и тогда было бы ясно, что автор в курсе проблемы и читателю надо самостоятельно перебрать варианты

А зачем перебирать варианты в определении? Оно лучше от этого не станет.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1637211 писал(а):

А зачем перебирать варианты в определении? Оно лучше от этого не станет.

Там же не определение самого скользящего вектора, а способ его задания/обозначения в декартовой СК.
Вот например в книжке
Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. М.: МГУ, 1974. - 647 с.
На странице 22 написано так (подчеркивание моё)

Цитата:

2. Координаты скользящего вектора. Чтобы полностью опре-
делить скользящий вектор, нужно знать его величину, сторону и
линию действия. Направление и величину можно определить
тремя проекциями$ X,Y, Z$ вектора на ортогональные оси коорди-
нат. Линия действия будет однозначно определена заданием трех
координат хотя бы одной точки $М$ его линии действия. Не нарушая,
общности, всегда можно предполагать, что линия действия не па-
раллельна плоскости $Oxy$. Тогда за точку на линии действия мож-
но будет выбрать точку $A(x,y,0)$ пересечения последней
линии
с плоскостью $Oxy$. Пять произвольных чисел $X, Y, Z, x, y$ пол-
ностью опрелеляют скользящий вектор и называются его коор-
динатами.

И мне почему-то кажется, что у ТС не возникло бы вопросов что к чему.
А Меркин в своей книжке, из которой цитата в первом посте темы
Меркин Д.Р. Алгебра свободных и скользящих векторов. М: изд-во "Физматгиз", 1962 - 165 с.
этот момент опустил, вот читатель и в непонятках...

-- 24.04.2024, 17:32 --

Andrey from Mos - как вам Березкин? Правда же, вроде и то же самое написано, но сразу понятней всё стало?

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1637223 писал(а):

Там же не определение самого скользящего вектора, а способ его задания/обозначения в декартовой СК.

Даже если и так.
Делается утверждение, что для задания скользящего вектора в декартовой СК необходимо и достаточно 5 чисел:
а) три проекции вектора. Все обязательные.
б) две координаты (из трех) любой точки на прямой.

То, что в этом утверждении не приводится методика построения, учитывающая три различных случая, не делает это утверждение некорректным.

[Andrey from Mos]

to wrest:
Конечно, у Березкина проще получается: берет удобную точку на прямой и определяет ее, как начало вектора. А Меркин решил упомянуть общий случай, а пояснений не дал. Вот и начались вопросы
Он не объяснил контекст термина "независимые координаты", который становится непонятным в общем случае, когда все три координаты связаны уравнениями.

[wrest]

Andrey from Mos в сообщении #1637236 писал(а):

Конечно, у Березкина проще получается: берет удобную точку на прямой и определяет ее, как начало вектора.

У скользящего вектора нет фиксированного начала (как и у "свободного" вектора) ;)
Вы, кстати, понимаете/принимаете то что вектор это "класс эквивалентности направленных отрезков"?
Сюда относятся и свободный и скользящий (хотя это и разные эквивалентности).

-- 24.04.2024, 19:44 --

EUgeneUS в сообщении #1637235 писал(а):

не делает это утверждение некорректным.

Оно не некорректное, оно неясное :) Неясность и послужила поводом к созданию этой темы.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1637240 писал(а):

Оно не некорректное, оно неясное :)

Оно ясное и прозрачное, как слеза комсомолки.

[svv]

Кстати, а может ли скользящий вектор быть нулевым? (в смысле $a_x=a_y=a_z=0$)
Если может, все утверждения выше, в которых упоминалась прямая (линия действия), нуждаются в уточнении.
Если не может, где это сказано у Меркина или Берёзкина?

[lazarius]

svv в сообщении #1637274 писал(а):

Кстати, а может ли скользящий вектор быть нулевым? (в смысле $a_x=a_y=a_z=0$)
Если может, все утверждения выше, в которых упоминалась прямая (линия действия), нуждаются в уточнении.

Я сейчас немного температурю но вроде получается так:

Начинаем с точки - три числа. Выбираем в ней направление - еще два. Если я не ошибаюсь, сейчас у нас однозначно определена геодезическая - по ней и будет скользить наш вектор. Но нужно задать собственно вектор в смысле направления (два числа) и длины (одно число). Итого, чтобы задать скользящий вектор нужно 8 чисел. В случае когда вектор направлен по касательной к геодезической (ваш 0 я включаю в этот пункт) достаточно 6. 6 а не 5.

[sergey zhukov]

lazarius
Мне кажется, для этого нужно 11...12 чисел примерно. Для надежности. Восемь - маловато.