Класс линейных операторов

[Laguna]

Доброго времени суток, господа! Столкнулся со следующей задачей:
"На линейном пространстве размерности 4 над полем вещественных чисел задан класс линейных операторов $C$
Класс $C$ состоит из всех операторов обладающих следующим свойством:
Для любого оператора $A$ из класса $C$ выполнено:
1. Все собственные значения $A$ действительные.
2. В одном из базисов исходного пространства $\varphi$: $\operatorname{rank}(A) = 2$ и $ \operatorname{tr}(AA^t) = 5$, где $A$ - матрица линейного оператора в базисе $\varphi$. Базис $\varphi$ для каждого оператора из $C$ свой.
Найдите

$$\sup\limits_{A \in C} |\lambda(A)|$$

и

$$\inf\limits_{A \in C} |\lambda(A)|$$

, где $\lambda(A)$ - максимальное по модулю собственное значение оператора $A$
"
Мои рассуждения были такими:
Заметим, что все операторы из данного класса вырождены, т.к. ранг равен двум. Это означает, что у всех этих операторов есть собственное значение 0. Также отсюда и из того факта, что все с.з. этих операторов обязательно вещественные, следует, что характеристический многочлен всех этих матриц имеет вид $x^2(x-a)(x-b)$, где $a$ и $b$ - два других с.з. этого оператора (они могут совпасть). На этом шаге становится очевидным, что именно условие $ \operatorname{tr}(AA^t) = 5$ в каком-то базисе как-то ограничивает величину собственных значения $a$ и $b$. Только вот я никак не могу понять, почему оно как-то ограничивает собственные значения оператора. Пробовал привести к ЖНФ, но в общем случае при переходе к другому базису $ \operatorname{tr}(AA^t)$ меняется, и никакой информации не остается. Прошу помочь разобраться с данной задачей

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1637025 писал(а):

но в общем случае при переходе к другому базису $ \operatorname{tr}(AA^t)$ меняется

Это точно?

[Laguna]

мат-ламер в сообщении #1637035 писал(а):

Laguna в сообщении #1637025 писал(а):

но в общем случае при переходе к другому базису $ \operatorname{tr}(AA^t)$ меняется

Это точно?

Ну да, а как можно доказать, что не меняется?

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1637040 писал(а):

Ну да, а как можно доказать, что не меняется?

Не, я просто спросил. Это величина имеет смысл евклидовой номы матрицы. Может и меняется. Надо будет посмотреть. Но она точно не меньше спектральной нормы матрицы. Вероятно в каких-то случаях достигается и равенство. Этим, наверное, можно воспользоваться.

-- Вс апр 21, 2024 20:31:24 --

Laguna
Попробуйте задачу увязать с сингулярными числами матрицы. Посмотрите, как через эти числа выражается евклидова (она же фробениусова, она же сферическая) норма матрицы, а также те величины, которые вам надо рассчитать.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Не в качестве подсказки, а в качестве ориентира. Для первого вопроса я думаю, что ответ будет $\sqrt{5}$ и достигаться для диагональной матрицы с двумя нулевыми собственными значениями, а третье значение стремится к нулю. Для второго вопроса я думаю, что ответ будет $\sqrt{2}$ и достигаться на жордановой клетке размера два на два с понятно какими собственными значениями. Остальные два собственных значения нулевые. Но это предварительный результат.

[Laguna]

мат-ламер в сообщении #1637062 писал(а):

(Оффтоп)

Не в качестве подсказки, а в качестве ориентира. Для первого вопроса я думаю, что ответ будет $\sqrt{5}$ и достигаться для диагональной матрицы с двумя нулевыми собственными значениями, а третье значение стремится к нулю. Для второго вопроса я думаю, что ответ будет $\sqrt{2}$ и достигаться на жордановой клетке размера два на два с понятно какими собственными значениями. Остальные два собственных значения нулевые. Но это предварительный результат.

Супремум Вы нашли верно, а вот инфимум - нет

[мат-ламер]

Laguna в сообщении #1637065 писал(а):

а вот инфимум - нет

При более подробном разборе инфимум оказался нулевым. Достигается на верхнетреугольной матрице с двумя нулевыми с.з. с двумя с.з., которые стремятся к нулю, один внедиагональный элемент стремится к $\sqrt{5}$ .

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1637046 писал(а):

Попробуйте задачу увязать с сингулярными числами матрицы. Посмотрите, как через эти числа выражается евклидова (она же фробениусова, она же сферическая) норма матрицы, а также те величины, которые вам надо рассчитать.

Наверное можно так, но это будет сложновато. Более простой путь такой. Известно, что спектральный радиус матрицы не больше её какой-либо (в т.ч. евклидовой) нормы. Отсюда для первого вопроса сразу следует некая оценка сверху. А то, что она достигается, достаточно рассмотреть какой-то класс матриц, который вам подсказывает интуиция.

Что касается второго вопроса, то тут вообще теории не нужно. Очевидно, что там ответ есть неотрицательное число. А то, что ответ равен нулю, опять показывается рассмотрением некоего класса матриц, на который указывает интуиция.