Два диэлектрика

[Ignatovich]

Пространство внутри двухгранного угла с углом раствора $\alpha$ заполнено диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon_1$ , а остальное пространство диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon_2$ . Точечный заряд $q$ расположен на ребре угла. Определите напряженность электрического поля в точках (в каких сможете) на расстоянии $r$ от точечного заряда.

[svv]

Предположим, что потенциал зависит только от $r$ и имеет вид:
$\varphi=\frac c r$
Тогда всюду, кроме самого заряда, $\Delta\varphi=0$. Значит, в каждой из сред
$\operatorname{div}\mathbf D=\varepsilon\operatorname{div}\mathbf E=-\varepsilon\Delta\varphi=0$
Граничное условие $\varphi_1=\varphi_2$ тоже выполнено. Ну, и условие $\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}$ тоже, потому что градиент нашего потенциала всюду направлен радиально, т.е. на границе раздела сред касателен к ней, поэтому $\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}=0$.
Остаётся только найти константу $c$ из условия $\oint\mathbf D\cdot d\mathbf S=4\pi q$.

[DimaM]

svv в сообщении #1637072 писал(а):

радиент нашего потенциала всюду направлен радиально, т.е. на границе раздела сред касателен к ней

Радиальное направление в основном не касательно к границе. В условии же двугранный угол, а не конус.

[svv]

Точка $O$ — заряд (принимаем за начало отсчёта), $A$ — точка наблюдения, взятая на границе раздела сред.

Обе точки лежат на одной грани, соединяющий их вектор $\vec{OA}$ тоже. Градиент моего потенциала в точке $A$ параллелен $\vec{OA}$, значит, его нормальная к границе компонента равна нулю.

[DimaM]

svv
Согласен.

[rascas]

svv в сообщении #1637072 писал(а):

градиент нашего потенциала всюду направлен радиально

Значит напряжённость электрического поля одинаковая на радиусе и направлена радиально. Как у точечного заряда в среде с одинаковой проницаемостью.

Ignatovich в сообщении #1636917 писал(а):

Определите напряженность электрического поля

$E=\frac{q}{2(2\pi \varepsilon_2 + \alpha(\varepsilon_1-\varepsilon_2))\varepsilon_0 r^2}$

[Ignatovich]

rascas в сообщении #1637112 писал(а):

$E=\frac{q}{2(2\pi \varepsilon_2 + \alpha(\varepsilon_1-\varepsilon_2))\varepsilon_0 r^2}$

У меня также. Решение по существу такое же, как у svv. Геометрия задачи дает основания предположить, что вектор напряженности направлен радиально. В этом случае на границе раздела не возникает связанных зарядов. В объеме однородного нейтрально диэлектрика связанных зарядов также нет. Следовательно, связанные заряды могут быть локализованы только вблизи точечного заряда. Это согласуется с предположением о радиальном направлении вектора напряженности. Дальше, использую теорему о потоке вектора индукции, приходим к ответу.