Арифметическая прогрессия из простых чисел

[мат-ламер]

Журнал "Наука и жизнь", 2011 г., №1, стр.99. Вступительные экзамены в ВЗМШ. Задача 5. "Могут ли все члены арифметической прогрессии из натуральных чисел быть простыми?"

Будем считать, что последовательность бесконечна и не стационарна (иначе какой смысл в задаче?). То, что существует конечная арифметическая прогрессия какой угодно длины, составленная из разных простых чисел, известный результат (непростой). По-видимому, бесконечной такой прогрессии не существует. То есть существует последовательность составных чисел какой угодно длины, идущих подряд. Но чего-то у меня никаких мыслей, как это доказать, нет.

Извиняюсь, сообразил. Если $p$ - некий член последовательности, то число $p+pd$ составное.

[dgwuqtj]

Напишите формулу для $n$-го члена прогрессии и убедитесь, что он делится на первый член при некоторых $n$ (сколь угодно больших).

[мат-ламер]

dgwuqtj в сообщении #1636758 писал(а):

Напишите формулу для $n$-го члена прогрессии и убедитесь, что он делится на первый член при некоторых $n$ (сколь угодно больших).

Спасибо! Уже сообразил сам, не видя вашего поста. Бывает, затупишь. Стоит написать вопрос и ответ тут же приходит

[Евгений Машеров]

0. Может. Если шаг прогрессии=0
1.

мат-ламер в сообщении #1636757 писал(а):

По-видимому, бесконечной такой прогрессии не существует. То есть существует последовательность составных чисел какой угодно длины, идущих подряд.

Это разные утверждения.

[Shadow]

мат-ламер в сообщении #1636757 писал(а):

То есть существует последовательность составных чисел какой угодно длины, идущих подряд

Да еще и с разностью $1$.

[bot]

мат-ламер в сообщении #1636757 писал(а):

То есть существует последовательность составных чисел какой угодно длины, идущих подряд

$[n!+2, n!+n]$.

[Dmitriy40]

Кстати если не ошибаюсь, то $n!$ тут можно заменить на $n\#$ (праймориал), который существенно меньше и не сильно сложнее для понимания.

[Shadow]

Dmitriy40 в сообщении #1636884 писал(а):

Кстати если не ошибаюсь, то $n!$ тут можно заменить на $n\#$ (праймориал), который существенно меньше и не сильно сложнее для понимания.

А плюсы заменить на минусы - еще меньше.

[Shadow]

Я вписался в этой теме из ностальгии. Когда-то (давно) приходилось решать задачу: "Докажите, что существует последовательность из 1000 последовательных натуральных чисел, содержащая ровно пять простых".

[мат-ламер]

Shadow в сообщении #1636910 писал(а):

Когда-то (давно) приходилось решать задачу: "Докажите, что существует последовательность из 1000 последовательных натуральных чисел, содержащая ровно пять простых".

Это вроде следствие того, что

мат-ламер в сообщении #1636757 писал(а):

существует последовательность составных чисел какой угодно длины, идущих подряд.

То есть возьмём в начале натурального ряда последовательность нужной нам длины и будем её двигать вправо, пока не выполнится нужное нам условие.

[gris]

а вдруг оно не выполниться никогда?
one came in one came out