Условный экстремум

[Kir_iii]

Вопрос по методу множителей Лагранжа. Какой смысл имеет множитель для самой функции? В учебнике Кудрявцева, фактически, сразу предполагается что этот множитель не ноль.

[svv]

Kir_iii
Посмотрите вот тут, пункт «Двумерный случай», формула (1) и вокруг, должно стать понятнее.

[мат-ламер]

Kir_iii в сообщении #1636363 писал(а):

Какой смысл имеет множитель для самой функции?

svv в сообщении #1636367 писал(а):

Посмотрите вот тут

Поскольку по ссылке рассматривается только случай с одним ограничением, то решил добавить. Этот множитель позволяет учитывать линейную независимость градиентов ограничений в точке экстремума. Если они линейно зависимы, то эта зависимость равносильна тому, что мы этот множитель можем занулить. Если они линейно независимы, то мы этот множитель занулить никак не можем. Но тогда мы можем уравнение просто разделить на него и он исчезнет.

-- Пн апр 15, 2024 07:24:41 --

Если мы в теореме заранее предполагаем линейную независимость градиентов ограничений, то смысла ввода этого множителя никакого. А вот, если не предполагаем, и градиенты реально зависимы, то уже видно, что существует по крайней мере ненулевой набор множителей Лагранжа.

[Kir_iii]

Это понятно, вопрос зачем сама функция умножается на свой лагранжевый множитель? Чему соответствует случай, когда он равен нулю ?

PS. Апдейт пропустил, но вопрос все равно остался. Какие экстремумы требуют введения этого множителя? С бесконечными или несуществующими производными?

[Null]

Kir_iii в сообщении #1636433 писал(а):

Чему соответствует случай, когда он равен нулю ?

Особенности самой поверхности. Например если уравнения задают объединение 2ух прямых, то точка их пересечения- особенность. В них тоже может быть максимум-минимум.

[Alex Krylov]

$\min\limits_{}x^2+y^2$
$x=0, y=0$

$L= x^2+y^2 - \lambda_1 x - \lambda_2 y$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-\lambda_1=0 \\ 2y-\lambda_2=0 \\ x=0 \\ y=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \lambda_1=0, \lambda_2=0$

[Null]

Найдите минимум $f(x,y,z)=y$
при ограничениях
$x^6-z=0$
$y^3-z=0$

[Kir_iii]

Null в сообщении #1636435 писал(а):

Kir_iii в сообщении #1636433 писал(а):

Чему соответствует случай, когда он равен нулю ?

Особенности самой поверхности. Например если уравнения задают объединение 2ух прямых, то точка их пересечения- особенность. В них тоже может быть максимум-минимум.

В этом случае, градиент самой функции в точке пересечения должен быть ноль, если это условный экстремум, то есть можно просто искать стационарные точки самой функции.

-- 15.04.2024, 19:34 --

Alex Krylov в сообщении #1636440 писал(а):

$\min\limits_{}x^2+y^2$
$x=0, y=0$

$L= x^2+y^2 - \lambda_1 x - \lambda_2 y$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-\lambda_1=0 \\ 2y-\lambda_2=0 \\ x=0 \\ y=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \lambda_1=0, \lambda_2=0$

Здесь тоже можно просто искать стационарные точки самой функции.

[Alex Krylov]

$\min\limits_{}x^2+y^2$
$y-x=0$

$L= x^2+y^2 - \lambda (y-x)$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x+\lambda=0 \\ 2y-\lambda=0 \\ y-x=0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x=y=\lambda=0$

$\min\limits_{}x^2+y^2$
$x=0, y=1$

$L= x^2+y^2 - \lambda_1 x-\lambda_2 (y-1)$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x-\lambda_1=0 \\ 2y-\lambda_2=0 \\ x=0 \\ y-1=0 \end{array} \right. \Rightarrow x=0, y=1, \lambda_1=0, \lambda_2=2$

[Kir_iii]

Null в сообщении #1636458 писал(а):

Найдите минимум $f(x,y,z)=y$
при ограничениях
$x^6-z=0$
$y^3-z=0$

Да, хитро. Убедили, множитель нужен. Но какой у него геометрический смысл?

[мат-ламер]

Kir_iii в сообщении #1636465 писал(а):

Но какой у него геометрический смысл?

Насчёт геометрического смысла не знаю. А логический смысл в том, что упрощает формулировку теоремы.

[Kir_iii]

PS. Хотя, вроде понятно - есть случаи, когда связи борются с градиентом функции не только своими градиентами, но и особенностями границы области их пересечения.

-- 15.04.2024, 20:44 --

Спасибо всем за ответы.

[Alex Krylov]

Цитата:

Но какой у него геометрический смысл?

Возьмем для начала случай одного ограничения. Когда поверхности/линии уровня оптимизируемой функции касаются поверхности/кривой, задающей ограничения? Когда векторы градиентов коллинеарны! А значит они связаны коэффициентом пропорциональности! Этот коэффициент пропорциональности и есть множитель Лагранжа.

[мат-ламер]

Alex Krylov в сообщении #1636489 писал(а):

Этот коэффициент пропорциональности и есть множитель Лагранжа.

Как я понял вопрос стоял о смысле множителя $\lambda_0$ при функции. Методический смысл, наверное, в том, чтобы замести под ковёр вопросы, связанные с линейной независимостью градиентов. Сомневаюсь. что у этого множителя есть геометрический смысл, так как и без него можно обойтись.

[Alex Krylov]

мат-ламер в сообщении #1636504 писал(а):

Alex Krylov в сообщении #1636489 писал(а):

Этот коэффициент пропорциональности и есть множитель Лагранжа.

Как я понял вопрос стоял о смысле множителя $\lambda_0$ при функции. Методический смысл, наверное, в том, чтобы замести под ковёр вопросы, связанные с линейной независимостью градиентов. Сомневаюсь. что у этого множителя есть геометрический смысл, так как и без него можно обойтись.

Так все же речь о множителе Лагранжа или там нечто иное, некий иной множитель? Я-то вот например виду речь именно о множителях Лагранжа, а не о чем-то ином.