Вид алгебраической функции по ее особым точкам

[Shawn]

Известно, что функция $w$ имеет разложение
(1) $w(z)=c_{00}+c_{01} z^{\frac{1}{2}}+c_{02} z+c_{03} z^{\frac{3}{2}}+c_{04} z^2+\dots,$ -- в окрестности точки ноль;
(2) $w(z)=c_{10}+c_{11} (z-1)^{\frac{1}{2}}+c_{12} (z-1)+c_{13} (z-1)^{\frac{3}{2}}+c_{14} (z-1)^2+\dots,$ -- в окрестности 1;
(3) $w(z)=c_{1}z^{\frac{3}{2}}+c_{2}z+c_{3} z^{\frac{1}{2}}+c_4+\dfrac{c_{5}}{z^{\frac{1}{2}}}+\dfrac{c_{6}}{z}+\dots,$ -- в окрестности бесконечности.
В остальных точках комплексной плоскости функция голоморфна.

Можно ли что-то сказать о виде такой функции в общем случае?
________________________________________________________
Рассуждения.
Функция $w$ является алгебраической, поэтому удовлетворяет уравнению $w^n P_n(z)+w^{n-1}P_{n-1}(z)+...+P_0(z)=0$, где $P_k$ -- многочлены переменного $z$.
Функция имеет три точки ветвления $0$, $1$ и $\infty$ первого порядка, поэтому $n=3$ (?).
Тогда функция $w$ может быть выражена в явном виде (?).
Возможные частные случаи:
$w(z)=a_1+a_2 z^{\frac{1}{2}}+a_3 z+a_4 z^{\frac{3}{2}}$ (степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
$w(z)=b_1+b_2 (z-1)^{\frac{1}{2}}+b_3 (z-1)+b_4 (z-1)^{\frac{3}{2}}$ (степень выше быть не может, иначе будет противоречить с (3));
$w(z)=z^{\frac{1}{2}}(z-1)^{\frac{1}{2}}$;
$w(z)=z(z-1)^{\frac{1}{2}}$.
В общем случае будет линейная комбинация этих частных случаев, т.е. в общем случае $w$ имеет вид:
$w(z)=A+Bz^{\frac{1}{2}}+C(z-1)^{\frac{1}{2}}+Dz+Ez^{\frac{1}{2}}(z-1)^{\frac{1}{2}}+Fz(z-1)^{\frac{1}{2}}+G(z-1)^{\frac{3}{2}}+Hz^{\frac{3}{2}}.$
Есть ли ошибки? Можно ли как-то иначе/проще рассуждать?