Арифметическая функция индикатор

[vicvolf]

Арифметическая функция называется индикатор - $1_S$, если выполняется: $1_S(n)=1, n \in S$ ($S$ - подмножество натурального ряда) и $1_S(n)=0, n \notin S$.

Примером индикатора является арифметической функция $1_S(n)=1,n \in P$ ($P$ - множество простых чисел) и $1_S(n)=0, n \notin P$.

Арифметическая функция индикатор может быть мультипликативной. Пример: $1_S(n)=1,n \in S$, где $\{S=1,2^2,3^2,...\}$ и $1_S(n)=0,n \notin S$.

Может ли арифметическая функция индикатор быть аддитивной? Если да, то можно пример.

[mihiv]

Пусть числа $n_1,n_2\in S$, тогда, если индикатор аддитивная функция, то $1_S(n_1+n_2)=2$, что противоречит определению индикатора.

[dgwuqtj]

Да, $S = \varnothing$.

[vicvolf]

dgwuqtj в сообщении #1635338 писал(а):

Да, $S = \varnothing$.

Это не подмножество натурального ряда.

[Mikhail_K]

vicvolf в сообщении #1635340 писал(а):

Это не подмножество натурального ряда.

Ошибаетесь, пустое множество является подмножеством любого множества.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1635337 писал(а):

Пусть числа $n_1,n_2\in S$, тогда, если индикатор аддитивная функция, то $1_S(n_1+n_2)=2$, что противоречит определению индикатора.

А тривиальный случай $1_s(n)=0,n \in N$.