Вариация действия в релятивиской механике

[Enceladoglu]

$ \delta S = -mc \delta \int\limits_{}^{}ds = - mc \int\limits_{}^{} \frac{dx_i \delta(dx^i)} {ds}$
Кто-то может обьяснить эти чудеса варьирования из ЛЛ-2 ?)
Я не совсем понимаю как это взялось, и главное почему мы варьируем лишь только ковариантные/контрвариантные координаты ?

[Утундрий]

Если это "электромагнитные главы", то метрика там всюду фиксирована и варьированию не подлежит.

[Enceladoglu]

Утундрий
Электромагнитные. Так варьируют траекторию вроде...

[Утундрий]

Так что вызывает недоумение? $\delta (ds)=\delta\sqrt{dx^i dx_i}=\dfrac{\delta(dx^i dx_i)}{2ds}=\ldots$

[Enceladoglu]

Утундрий
Иии как это привести к $\frac{dx_i \delta(dx^i)} {ds}$ ?

[Утундрий]

Enceladoglu
Соедините правило Лейбница с моей фразой о метрике.

[Enceladoglu]

Утундрий
$\dfrac{\delta(dx^i dx_i)}{2ds} = \frac{\delta(dx^i) (dx_i) + \delta(dx_i)(dx^i)}{2ds} = ... = \dfrac{\delta(dx^i) dx_i}{ds} $
Тогда мне надо как то доказать что $ \delta(dx^i) (dx_i) = \delta(dx_i)(dx^i) $

-- 04.04.2024, 19:12 --

Ну, у меня конечно есть предположение. Мол пусть мое изменение координаты есть 4-вектор f
Тогда
$ \delta(dx^i) = d(\delta x^i ) = df^i \Rightarrow \delta(dx^i) (dx_i) = dx_i df^i $
$ \delta(dx_i) = d(\delta x_i ) = df_i \Rightarrow \delta(dx_i)(dx^i) = dx^i df_i $
Проверим равенство $dx_i df^i = dx^i df_i $
Для временной компоненты $df_0 = df^0 , dx_0 = dx^0$, тогда $ dx_0 df^0 = dx^0 df_0 $
Для координатной $ dx_i = -dx^i, df_i = -df^i $ Тогда $ dx_i df^i = -dx_i df_i $ и $ dx^i df_i = -dx_i df_i $, и очевидно их равенство
Я не уверен что правильно обращаюсь тут с этими 4 векторами, да и кажется очень долгим методом

[Утундрий]

$dx^i dx_i=g_{ik}dx^i dx^k$
Дальше сообразите?

P. S. В ЛЛ-2 латиницей обозначены мировые индексы.

[Enceladoglu]

Утундрий
Да, так все легко выходит, спасибо