Просто исследовать на экстремум, но чето сложно

[Laguna]

Здравствуйте, господа! Столкнулся со следующей задачей:
"При каком минимальном значении параметра $a > 0$ хотя бы 4 локальных максимума функции $e^x \sin(\frac{ax}{5})$ лежат на отрезке [$\frac{-9\pi}{4}$;$\frac{15\pi}{4}$]"
Задачу-то я решил, но использовал прямо-таки сложные рассуждения, хотя задача должна решаться легко. Прошу знатоков матана поделиться своими, надеюсь, простыми и быстрыми решения данной задачи. И кстати, интересное замечание, сначала может показаться, что экстремум достигается в тех точках, где синус от нашего аргумента принимает значения $+$ или $-1$, т.к. экспонента-то у нас положительна и строго монотонна, но вот те на, оказывается, что не-а, даже когда синус начинает идти на спад/подъем, сама функция еще какое-те время продолжает расти/убывать, достигает экстремума(не в точке, где синус по модулю один) и только потом начинает убывать/возрастать.

[Евгений Машеров]

Уставное решение: взять производную, приравнять нулю, затем вторую, чтобы понять, где минимумы, где максимумы.
Неуставное: максимум где-то на отрезке, в котором данная функция положительна. Ищем нули функции и максимумы между ними.

[mihiv]

А, все-таки, чему равно минимальное значение $a$? У меня получилось, что должно быть $a>6$.

[Laguna]

mihiv в сообщении #1635331 писал(а):

А, все-таки, чему равно минимальное значение $a$? У меня получилось, что должно быть $a>6$.

Правильный ответ - 6.285

[mihiv]

Обозначим:$c=\frac a5$. Стационарные точки $f(x)$ находим из уравнения $\sin cx+c\cos cx=0$, или $\sin (u+\varphi (c))=0,$ где $ u=cx\eqno (1),\varphi (c)=\arcsin \dfrac c{\sqrt {1+c^2}}$.
Значения $u_i$, при которых наблюдаются первые четыре локальных максимума принадлежат интервалам:$(-2\pi,-\pi),(0,\pi),(2\pi,3\pi),(4\pi,5\pi)$.
Для максимума из четвертого интервала получим с учетом (1):$cx_4=5\pi-\arcsin \dfrac c{\sqrt {1+c^2}}$. Отсюда следует условие:

$$\frac {15\pi}4\geqslant \frac 1c(5\pi-\arcsin (\dfrac c{\sqrt {1+c^2}})\eqno (2)$$

Минимальное значение $c$ получим, когда выполняется равенство в (2). Отсюда $c_{min}\approx 1.25704,a=5c\approx 6.2852$