В конечномерном случае есть стандартный критерий:

интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и множество точек разрыва имеет меру 0. Счётные множества, конечно, имеют меру 0. Но для функций со значениями в бесконечномерных банаховых пространствах я не знаю.